(2) $2\cos\theta + \sqrt{2} = 0$のとき、$\theta$の値を求める。 (3) $\tan\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta$と$\cos\theta$の値を求める。 (4) $\sin 100^{\circ}$ を $45^{\circ}$ より小さい角の三角比で表す。 (5) $\triangle ABC$ において $a=5, b=7, c=9$ のとき、この三角形が鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のどれであるかを判定する。

1. 問題の内容

(2) $2\cos\theta + \sqrt{2} = 0$のとき、$\theta$の値を求める。

(3) $\tan\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\sin\theta$と$\cos\theta$の値を求める。

(4) $\sin 100^{\circ}$ を $45^{\circ}$ より小さい角の三角比で表す。

(5) $\triangle ABC$ において $a=5, b=7, c=9$ のとき、この三角形が鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のどれであるかを判定する。

2. 解き方の手順

(2)

$2\cos\theta + \sqrt{2} = 0$ より、

$\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$の範囲で考えると、$\theta = 135^{\circ}$.

(3)

$\tan\theta = -\frac{1}{2}$より、$\theta$は第2象限または第4象限の角である。$\sin\theta > 0, \cos\theta < 0$であるから$\theta$は第2象限の角である。

$\tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$より、

$\frac{1}{\cos^2\theta} = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

$\cos^2\theta = \frac{4}{5}$

$\cos\theta = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$

$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

(4)

$\sin(100^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin(80^{\circ})$.

$\sin(80^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - 10^{\circ}) = \cos(10^{\circ})$.

(5)

余弦定理より、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = \frac{5}{6} > 0$.

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{5^2 + 9^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 9} = \frac{25 + 81 - 49}{90} = \frac{57}{90} = \frac{19}{30} > 0$.

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 7^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -\frac{1}{10} < 0$.

$\cos A > 0, \cos B > 0, \cos C < 0$より、$A, B$は鋭角、$C$は鈍角。したがって、$\triangle ABC$は鈍角三角形である。

3. 最終的な答え

(2) $135^{\circ}$

(3) $\sin\theta = \frac{\sqrt{5}}{5}$, $\cos\theta = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(4) $\cos 10^{\circ}$

(5) 鈍角三角形