2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 9$ と $C_2: x^2 + (y-2)^2 = 4$ の共通接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2つの円 $C_1: x^2 + y^2 = 9$ と $C_2: x^2 + (y-2)^2 = 4$ の共通接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

共通接線を $y = mx + n$ とおく。

円 $C_1$ の中心は $(0, 0)$ で半径は $3$ である。円 $C_2$ の中心は $(0, 2)$ で半径は $2$ である。

直線 $y = mx + n$ すなわち $mx - y + n = 0$ が円 $C_1$ に接するための条件は、中心 $(0, 0)$ と直線との距離が半径 $3$ に等しいことである。

$\frac{|m \cdot 0 - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 3$

$|n| = 3\sqrt{m^2 + 1}$

$n^2 = 9(m^2 + 1)$

直線 $mx - y + n = 0$ が円 $C_2$ に接するための条件は、中心 $(0, 2)$ と直線との距離が半径 $2$ に等しいことである。

$\frac{|m \cdot 0 - 2 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$

$|n - 2| = 2\sqrt{m^2 + 1}$

$(n - 2)^2 = 4(m^2 + 1)$

$n^2 = 9(m^2 + 1)$ と $(n - 2)^2 = 4(m^2 + 1)$ から $m, n$ を求める。

$n^2 = 9m^2 + 9$

$n^2 - 4n + 4 = 4m^2 + 4$

$9m^2 + 9 - 4n + 4 = 4m^2 + 4$

$5m^2 - 4n + 9 = 0$

$4n = 5m^2 + 9$

$n = \frac{5m^2 + 9}{4}$

$(\frac{5m^2 + 9}{4})^2 = 9(m^2 + 1)$

$\frac{25m^4 + 90m^2 + 81}{16} = 9m^2 + 9$

$25m^4 + 90m^2 + 81 = 144m^2 + 144$

$25m^4 - 54m^2 - 63 = 0$

$(25m^2 + 21)(m^2 - 3) = 0$

$m^2 = 3$ (∵ $25m^2 + 21 > 0$)

$m = \pm \sqrt{3}$

$m = \pm \sqrt{3}$ のとき

$n = \frac{5 \cdot 3 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$

したがって、共通接線の方程式は $y = \pm \sqrt{3} x + 6$。

$y = mx + n$ が $x$ 軸に平行なときを考える。

このとき、$y = 3$ と $y = -3$ が円 $C_1$ に接する。

$C_2$ の中心 $(0, 2)$ との距離が $2$ であるのは $y=0$ と $y=4$ であり、これらは $C_2$ の接線になる。

したがって $y=3$ は $C_1$ の接線だが $C_2$ の接線ではない。

$y = 0$ は $C_2$ の接線だが $C_1$ の接線ではない。

$y = 4$ は $C_2$ の接線ではない。

$y = -3$ は $C_1$ の接線だが $C_2$ の接線ではない。

$C_2$ が $x=c$ に接するのは $x = \pm 2$.

3. 最終的な答え

$y = \sqrt{3}x + 6$

$y = -\sqrt{3}x + 6$