半径6cm、中心角120度のおうぎ形を、滑らないように直線上を1回転させたとき、中心Oが動いた長さは何cmになるかを求める問題です。

1. 問題の内容

半径6cm、中心角120度のおうぎ形を、滑らないように直線上を1回転させたとき、中心Oが動いた長さは何cmになるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

中心Oの軌跡は、3つの部分に分けられます。

* 1つ目は、おうぎ形の弧に沿って回転する部分です。この部分の回転角は90度です。半径6 cmの円周の $90/360 = 1/4$ の長さが2回現れます。

* 2つ目は、おうぎ形の半径6cmの線分に沿って回転する部分です。この部分はまっすぐな線分です。おうぎ形の弦の長さに相当します。

* 3つ目は、角度120度の回転です。このときの半径は6 cmです。

まず、円弧部分の長さを計算します。半径6cmの円の円周は $2 \pi \times 6 = 12\pi$ cmです。これが1/4の円弧なので、$12\pi \times (1/4) = 3\pi$ cmです。このような弧が2つあるので、$3\pi \times 2 = 6\pi$ cm。

次に、120度の回転で中心Oが描く円弧の長さを計算します。半径6cmの円の円周は $2\pi \times 6 = 12\pi$ cmです。この円周の $\frac{120}{360} = \frac{1}{3}$ の長さが中心Oの動いた長さなので、$12\pi \times \frac{1}{3} = 4\pi$ cmです。

したがって、中心Oの動いた長さは、$6\pi + 4\pi = 10\pi$ cmになります。

3. 最終的な答え

$10\pi$ cm