画像にある数学の問題は全部で4問あり、それぞれ以下の通りです。 (2) $2\sin\theta - 1 = 0$ のとき、$\theta$ の値を求める。選択肢は$30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ, 150^\circ$, $45^\circ, 135^\circ$, $60^\circ, 120^\circ$。 (3) $\tan\theta = -3$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める。（一部穴埋め） (4) $\cos 125^\circ$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す。選択肢は $\sin$, $-\sin$, $\cos$, $-\cos$, $\tan$, $-\tan$, $\frac{1}{\tan}$, $-\frac{1}{\tan}$。ただし、これらの三角比の引数（角度）は9と10の間の数字である。 (5) $\triangle ABC$ において、$a=2$, $b=4$, $c=5$ のとき、この三角形が鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のどれであるかを判定する。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題は全部で4問あり、それぞれ以下の通りです。

(2) $2\sin\theta - 1 = 0$ のとき、$\theta$ の値を求める。選択肢は$30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $135^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ, 150^\circ$, $45^\circ, 135^\circ$, $60^\circ, 120^\circ$。

(3) $\tan\theta = -3$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める。（一部穴埋め）

(4) $\cos 125^\circ$ を $45^\circ$ より小さい角の三角比で表す。選択肢は $\sin$, $-\sin$, $\cos$, $-\cos$, $\tan$, $-\tan$, $\frac{1}{\tan}$, $-\frac{1}{\tan}$。ただし、これらの三角比の引数（角度）は9と10の間の数字である。

(5) $\triangle ABC$ において、$a=2$, $b=4$, $c=5$ のとき、この三角形が鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のどれであるかを判定する。

2. 解き方の手順

(2)

まず、与えられた式 $2\sin\theta - 1 = 0$ を変形して $\sin\theta$ について解く。

$2\sin\theta = 1$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$

$\sin\theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $30^\circ$ と $150^\circ$ である。

よって、$30^\circ, 150^\circ$ が答え。

(3)

$\tan\theta = -3$ のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求める。

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -3$ である。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、$\sin\theta = -3\cos\theta$ を代入して、

$(-3\cos\theta)^2 + \cos^2\theta = 1$

$9\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$

$10\cos^2\theta = 1$

$\cos^2\theta = \frac{1}{10}$

$\cos\theta = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\cos\theta = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\tan\theta = -3 < 0$ より、$\theta$ は第2象限または第4象限の角である。

- 第2象限のとき、$\sin\theta > 0$, $\cos\theta < 0$。

- 第4象限のとき、$\sin\theta < 0$, $\cos\theta > 0$。

画像から、$\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{45}} = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} > 0$, $\cos\theta = \frac{6 \sqrt{7}}{45}$ と推測できる。

$\sin\theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

$\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{3\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{90}}{10}$

$\frac{3}{\sqrt{45}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{45}} = \sqrt{\frac{9}{45}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{500}}{500}$

$\frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \neq \frac{3}{\sqrt{45}}$

$\frac{6|7|}{\sqrt{45}}$が$\cos\theta$の値の絶対値に近い。

(4)

$\cos(180^\circ - x) = -\cos x$ を用いる。

$125^\circ = 180^\circ - 55^\circ$ であるから、$\cos 125^\circ = -\cos 55^\circ$ である。

また、$55^\circ = 90^\circ - 35^\circ$ であるから、$\cos 55^\circ = \sin 35^\circ$ である。

したがって、$\cos 125^\circ = -\sin 35^\circ$。

よって、$45^\circ$より小さい角の三角比で表すと、$35^\circ$であり、$\cos 125^\circ = -\sin 35^\circ$ となる。

したがって、答えは$-\sin$で、角度は$35^\circ$なので、選択肢2が最も近い。

(5)

$\triangle ABC$ において、$a=2$, $b=4$, $c=5$ のとき、余弦定理を用いて角 $A$ の余弦を求める。

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 2^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 4}{40} = \frac{37}{40} > 0$

$\cos A > 0$ であるから、$A$ は鋭角である。

$b=4$, $c=5$ より、$b^2 + a^2 = 16 + 4 = 20 < 25 = c^2$ なので、角$B$は鈍角。よって鈍角三角形。

3. 最終的な答え

(2) $30^\circ, 150^\circ$

(3) $\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}}$, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$

(4) 2 (-sin)

(5) 鈍角三角形