図形を直線 $l$ を軸として1回転させてできる立体の体積と表面積を求めます。ただし、円周率は $\pi$ とします。図形は、半径6cmの半円と、底辺8cm、高さ6cmの直角三角形を組み合わせたものです。

1. 問題の内容

図形を直線 $l$ を軸として1回転させてできる立体の体積と表面積を求めます。ただし、円周率は $\pi$ とします。図形は、半径6cmの半円と、底辺8cm、高さ6cmの直角三角形を組み合わせたものです。

2. 解き方の手順

(1) 体積

回転体は、半径6cmの半球と、底面半径8cm、高さ6cmの円錐を組み合わせたものになります。

* 半球の体積：

球の体積は $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ なので、半球の体積は

$V_{半球} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

$r = 6$ を代入すると、

$V_{半球} = \frac{2}{3}\pi (6)^3 = \frac{2}{3}\pi (216) = 144\pi$

* 円錐の体積：

円錐の体積は $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

$r = 8$, $h = 6$ を代入すると、

$V_{円錐} = \frac{1}{3}\pi (8)^2 (6) = \frac{1}{3}\pi (64)(6) = 128\pi$

したがって、立体の体積は

$V_{全体} = V_{半球} + V_{円錐} = 144\pi + 128\pi = 272\pi$

(2) 表面積

回転体の表面は、半球の曲面と、円錐の側面になります。

* 半球の曲面：

球の表面積は $A = 4\pi r^2$ なので、半球の曲面は

$A_{半球} = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

$r = 6$ を代入すると、

$A_{半球} = 2\pi (6)^2 = 2\pi (36) = 72\pi$

* 円錐の側面：

円錐の側面積は $A = \pi r l$ （$r$は底面半径、$l$は母線）

$r = 8$, $l = 10$ を代入すると、

$A_{円錐} = \pi (8)(10) = 80\pi$

したがって、立体の表面積は

$A_{全体} = A_{半球} + A_{円錐} = 72\pi + 80\pi = 152\pi$

3. 最終的な答え

(1) 体積：$272\pi$ cm$^3$

(2) 表面積：$152\pi$ cm$^2$