直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に関して、点 $P(-2, -4)$ と対称な点 $Q$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $3x + 2y + 1 = 0$ に関して、点 $P(-2, -4)$ と対称な点 $Q$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $Q$ の座標を $(a, b)$ とします。

ステップ1: 線分 $PQ$ の中点 $M$ は、与えられた直線上にある。

中点 $M$ の座標は $\left( \frac{a-2}{2}, \frac{b-4}{2} \right)$ となります。

この中点が直線 $3x + 2y + 1 = 0$ 上にあるので、以下の方程式が成り立ちます。

$$3\left(\frac{a-2}{2}\right) + 2\left(\frac{b-4}{2}\right) + 1 = 0$$

$$3(a-2) + 2(b-4) + 2 = 0$$

$$3a - 6 + 2b - 8 + 2 = 0$$

$$3a + 2b - 12 = 0$$

$$3a + 2b = 12 \quad (*)$$

ステップ2: 直線 $PQ$ は、与えられた直線と垂直である。

直線 $PQ$ の傾きは $\frac{b - (-4)}{a - (-2)} = \frac{b+4}{a+2}$ です。

与えられた直線の傾きは $-\frac{3}{2}$ です。

2つの直線が垂直であることから、傾きの積が $-1$ になるので、

$$\frac{b+4}{a+2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$$

$$\frac{b+4}{a+2} = \frac{2}{3}$$

$$3(b+4) = 2(a+2)$$

$$3b + 12 = 2a + 4$$

$$2a - 3b = 8 \quad (**)$$

ステップ3: 連立方程式 $(*)$ と $(**)$ を解く。

(*) $3a + 2b = 12$

(**) $2a - 3b = 8$

(*) × 2 : $6a + 4b = 24$

(**) × 3 : $6a - 9b = 24$

引き算を行うと、

$13b = 0$

$b = 0$

これを (*) に代入すると、

$3a + 2(0) = 12$

$3a = 12$

$a = 4$

したがって、点 $Q$ の座標は $(4, 0)$ となります。

3. 最終的な答え

点Qの座標は $(4, 0)$ です。