台形ABCDにおいて、AD//BCであり、対角線の交点をEとする。対角線BD上にDE=BFとなる点Fを取り、点Fを通りACに平行な直線を引いて辺BCとの交点をGとする。 (1) AD=GBであることを証明する。 (2) DとGを結び、AD=3cm, BC=7cmのとき、三角形DBGの面積が台形ABCDの面積の何倍かを求める。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AD//BCであり、対角線の交点をEとする。対角線BD上にDE=BFとなる点Fを取り、点Fを通りACに平行な直線を引いて辺BCとの交点をGとする。

(1) AD=GBであることを証明する。

(2) DとGを結び、AD=3cm, BC=7cmのとき、三角形DBGの面積が台形ABCDの面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1) AD=GBの証明

* $\triangle BDE$と$\triangle DBG$において、

$DE=BF$ (仮定)

$\angle BDE = \angle DBG$ (錯角、AD//BCより)

$FG$はACに平行なので、$\angle DFE = \angle DEC$

よって、$\angle DFE = \angle BGC$ (錯角、FG//AC)

$\angle BGC = \angle FBE$ (対頂角)

$\angle DEC = \angle EBG$

したがって、$\triangle BDE \cong \triangle DBG$である。

$FG // AC$より、$四角形AFGC$は平行四辺形である。

したがって、$AD = FG$である。

$AC // FG$より、$\triangle DFE \sim \triangle BGF$

したがって、$DE / BD = BG / BC$

$\triangle BDE = \triangle DBG$より、$FG = AC$

したがって、$AD = GB$である。

(2) $\triangle DBG$の面積が台形ABCDの面積の何倍かの計算

* 台形ABCDの面積をSとする。$AD=3, BC=7$である。

$S = \frac{1}{2} (AD + BC) h = \frac{1}{2} (3+7) h = 5h$ (hは台形の高さ)

$\triangle DBG$において、底辺をBGとすると、BG=AD=3。高さは台形の高さhに等しい。

$\triangle DBG = \frac{1}{2} BG \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot h = \frac{3}{2} h$

$\frac{\triangle DBG}{S} = \frac{\frac{3}{2} h}{5h} = \frac{3}{10}$

したがって、$\triangle DBG$の面積は台形ABCDの面積の$\frac{3}{10}$倍である。

3. 最終的な答え

(1) AD=GBであることの証明：上記参照。

(2) $\frac{3}{10}$倍