四面体OABCにおいて、辺OB上に点DをOD:DB=1:3、辺AB上に点EをAE:EB=1:1、辺OC上に点FをOF:FC=1:2となるように取る。3点D,E,Fを通る平面と辺ACとの交点をGとする。このとき、AG:GCを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OB上に点DをOD:DB=1:3、辺AB上に点EをAE:EB=1:1、辺OC上に点FをOF:FC=1:2となるように取る。3点D,E,Fを通る平面と辺ACとの交点をGとする。このとき、AG:GCを求めよ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}$とおく。

点D, E, Fの位置ベクトルはそれぞれ

$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{4}\vec{b}$

$\overrightarrow{OE} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\overrightarrow{OF} = \frac{1}{3}\vec{c}$

点Gは平面DEF上にあるので、実数$s, t$を用いて

$\overrightarrow{OG} = (1-s-t)\overrightarrow{OD} + s\overrightarrow{OE} + t\overrightarrow{OF}$

と表せる。

$\overrightarrow{OG} = (1-s-t)\frac{1}{4}\vec{b} + s\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + t\frac{1}{3}\vec{c}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{s}{2}\vec{a} + (\frac{1-s-t}{4} + \frac{s}{2})\vec{b} + \frac{t}{3}\vec{c}$

$\overrightarrow{OG} = \frac{s}{2}\vec{a} + (\frac{1+s-t}{4})\vec{b} + \frac{t}{3}\vec{c}$

一方、点Gは辺AC上にあるので、実数$k$を用いて

$\overrightarrow{OG} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OG} = (1-k)\vec{a} + k\vec{c}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{s}{2} = 1-k$

$\frac{1+s-t}{4} = 0$

$\frac{t}{3} = k$

2番目の式より $1+s-t = 0$ つまり $t = s+1$

3番目の式より $k = \frac{t}{3} = \frac{s+1}{3}$

1番目の式に代入して $\frac{s}{2} = 1 - \frac{s+1}{3}$

$\frac{s}{2} = \frac{3 - s - 1}{3}$

$\frac{s}{2} = \frac{2-s}{3}$

$3s = 4 - 2s$

$5s = 4$

$s = \frac{4}{5}$

$t = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5}$

$k = \frac{t}{3} = \frac{9}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{5}$

$\overrightarrow{OG} = (1-\frac{3}{5})\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{c}$

$\overrightarrow{OG} = (1-k)\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OC}$ より、$AG:GC = k : (1-k)$

$AG:GC = \frac{3}{5} : (1-\frac{3}{5}) = \frac{3}{5} : \frac{2}{5} = 3:2$

3. 最終的な答え

AG:GC = 3:2