円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = -x + 2$ の共有点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $y = -x + 2$ の共有点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式を円の方程式に代入して、$x$ の2次方程式を得ます。

$x^2 + (-x + 2)^2 = 10$

これを展開し整理します。

$x^2 + (x^2 - 4x + 4) = 10$

$2x^2 - 4x + 4 = 10$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解を利用すると、

$(x - 3)(x + 1) = 0$

よって、$x = -1, 3$ となります。

それぞれの $x$ の値に対応する $y$ の値を求めます。直線の方程式 $y = -x + 2$ に代入します。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3$

$x = 3$ のとき、$y = -3 + 2 = -1$

したがって、共有点の座標は $(-1, 3)$ と $(3, -1)$ です。

3. 最終的な答え

共有点の座標は $(-1, 3), (3, -1)$ です。