座標空間に3点A(4,0,0), B(0,4,0), C(0,0,4)が与えられている。 (1) 線分BCの中点と原点Oの距離、および三角形ABCの面積を求める。 (2) 原点Oから平面ABCに下ろした垂線の長さを求める。 (3) 球面 $x^2+y^2+z^2=8$ と平面ABCが交わってできる円をDとする。点X(p,q,r)がD上を動くとき、円Dの半径、q+rとqrをpを用いて表し、pの取りうる範囲、三角形PQR(P(p,0,0), Q(0,q,0), R(0,0,r))の面積Sをpで表し、Sの最小値を求める。

1. 問題の内容

座標空間に3点A(4,0,0), B(0,4,0), C(0,0,4)が与えられている。

(1) 線分BCの中点と原点Oの距離、および三角形ABCの面積を求める。

(2) 原点Oから平面ABCに下ろした垂線の長さを求める。

(3) 球面 $x^2+y^2+z^2=8$ と平面ABCが交わってできる円をDとする。点X(p,q,r)がD上を動くとき、円Dの半径、q+rとqrをpを用いて表し、pの取りうる範囲、三角形PQR(P(p,0,0), Q(0,q,0), R(0,0,r))の面積Sをpで表し、Sの最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

線分BCの中点をMとすると、M(0, 2, 2)である。

OMの距離は $\sqrt{0^2+2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$\overrightarrow{AB} = (-4, 4, 0), \overrightarrow{AC} = (-4, 0, 4)$

$\triangle ABC$の面積は $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2}|(16, 16, 16)| = \frac{1}{2}\sqrt{16^2+16^2+16^2} = \frac{1}{2}\sqrt{3*16^2} = \frac{1}{2}*16\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

(2)

平面ABCの方程式は $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=1$ より $x+y+z=4$

原点から平面ABCへの距離は $\frac{|0+0+0-4|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

(3)

(i) 円Dの中心は、原点Oから平面ABCに下ろした垂線の足なので、平面ABCの方程式は$x+y+z=4$より、その足は直線$x=y=z$と平面$x+y+z=4$の交点なので、(4/3, 4/3, 4/3)。中心をHとすると、OHの長さは$4\sqrt{3}/3$。球面$x^2+y^2+z^2=8$の半径は$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。

円Dの半径は$\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{8-\frac{16*3}{9}}=\sqrt{8-\frac{16}{3}}=\sqrt{\frac{24-16}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$

(ii)

平面ABCの方程式は$x+y+z=4$。点X(p,q,r)は平面ABC上にあるので、$p+q+r=4$。よって、$q+r=4-p$。

また、点X(p,q,r)は球面$x^2+y^2+z^2=8$上にあるので、$p^2+q^2+r^2=8$。

$(q+r)^2 = q^2+r^2+2qr$ より、$q^2+r^2 = (q+r)^2 - 2qr$

$p^2+(q+r)^2-2qr=8$

$p^2+(4-p)^2-2qr=8$

$p^2+16-8p+p^2-2qr=8$

$2p^2-8p+8=2qr$

$qr=p^2-4p+4 = (p-2)^2$

(iii)

qとrは$t^2 - (4-p)t + (p-2)^2 = 0$ の2解である。

実数解を持つので、判別式D≧0

$D=(4-p)^2 - 4(p-2)^2 \geq 0$

$16-8p+p^2-4(p^2-4p+4)\geq 0$

$16-8p+p^2-4p^2+16p-16\geq 0$

$-3p^2+8p\geq 0$

$3p^2-8p\leq 0$

$p(3p-8)\leq 0$

$0\leq p \leq \frac{8}{3}$

(iv)

$\overrightarrow{PQ} = (-p, q, 0), \overrightarrow{PR} = (-p, 0, r)$

$\triangle PQR = \frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}| = \frac{1}{2}|(qr, pr, pq)| = \frac{1}{2}\sqrt{q^2r^2+p^2r^2+p^2q^2}$

$S=\frac{1}{2}\sqrt{(p-2)^4+p^2r^2+p^2q^2}$

$q+r=4-p$ より $(q+r)^2=q^2+2qr+r^2=(4-p)^2$

$q^2+r^2=(4-p)^2-2(p-2)^2 = 16-8p+p^2-2(p^2-4p+4)=16-8p+p^2-2p^2+8p-8 = -p^2+8$

$S = \frac{1}{2}\sqrt{(p-2)^4 + p^2(-p^2+8)} = \frac{1}{2}\sqrt{p^4-8p^3+24p^2-32p+16-p^4+8p^2} = \frac{1}{2}\sqrt{-8p^3+32p^2-32p+16} = \sqrt{-2p^3+8p^2-8p+4} = \sqrt{-2(p-1)^3 - 2(p-1) + 4}$

$S=\sqrt{-2p^3+8p^2-8p+4}$

$S' = \frac{1}{2\sqrt{-2p^3+8p^2-8p+4}}(-6p^2+16p-8) = 0$ の時極値

$3p^2-8p+4=0$

$(3p-2)(p-2)=0$

$p=2, 2/3$

$p=2/3$のとき$S = \sqrt{-2(2/3)^3+8(2/3)^2-8(2/3)+4} = \sqrt{-2(8/27)+8(4/9)-16/3+4} = \sqrt{-16/27+32/9-16/3+4} = \sqrt{-16/27+96/27-144/27+108/27} = \sqrt{\frac{44}{27}} = \frac{2\sqrt{11}}{3\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{33}}{9}$

$p=2$のとき、$S = \sqrt{-2(8)+8(4)-8(2)+4} = \sqrt{-16+32-16+4} = \sqrt{4}=2$

$S = \sqrt{-2p^3+8p^2-8p+4}$

$p=1$のとき、$S= \sqrt{-2+8-8+4} = \sqrt{-2+4} = \sqrt{2}$

$p = 2/3$ で $S = \frac{2\sqrt{33}}{9} \approx 1.27 < 2$ より最小値は$2\sqrt{33}/9$

3. 最終的な答え

ア：2

イ：√2

ウ：8

エ：√3

オ：4

カ：√3

キ：3

ク：2

ケ：√6

コ：3

サ：4

シ：2

ス：0

セ：8

ソ：3

タチ：-2

ツ：8

テ：8

ト：4

ナ：2

ニヌ：33

ネ：9