$m$ を実数とする。$xy$ 平面上の2直線 $mx - y = 0$ (1) と $x + my - 2m - 2 = 0$ (2) について、以下の問いに答える。 (1) (1),(2) は $m$ の値にかかわらず、それぞれ定点 A, B を通る。A, B の座標を求めよ。 (2) (1),(2) は直交することを示せ。 (3) (1),(2) の交点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$m$ を実数とする。$xy$ 平面上の2直線 $mx - y = 0$ (1) と $x + my - 2m - 2 = 0$ (2) について、以下の問いに答える。

(1) (1),(2) は $m$ の値にかかわらず、それぞれ定点 A, B を通る。A, B の座標を求めよ。

(2) (1),(2) は直交することを示せ。

(3) (1),(2) の交点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 (1) $mx - y = 0$ は、$m$ について整理すると $m(x) - y = 0$ となる。これが任意の $m$ について成り立つためには、$x = 0$ かつ $y = 0$ でなければならない。

したがって、定点 A の座標は $(0, 0)$ である。

直線 (2) $x + my - 2m - 2 = 0$ は、$m$ について整理すると $m(y - 2) + (x - 2) = 0$ となる。これが任意の $m$ について成り立つためには、$y - 2 = 0$ かつ $x - 2 = 0$ でなければならない。

したがって、$x = 2$ かつ $y = 2$ となり、定点 B の座標は $(2, 2)$ である。

(2)

直線 (1) の傾きは $m$ である。

直線 (2) を $y$ について解くと $my = -x + 2m + 2$ となる。 $m \neq 0$ のとき、$y = -\frac{1}{m}x + 2 + \frac{2}{m}$ となり、直線 (2) の傾きは $-\frac{1}{m}$ である。

2直線 (1) と (2) の傾きの積は $m \cdot (-\frac{1}{m}) = -1$ となるので、2直線は直交する。

$m=0$のとき、(1)は$y=0$、(2)は$x=2$となり、直交する。

(3)

2直線 (1) と (2) の交点の座標を $(X, Y)$ とする。

(1) より $mX - Y = 0$ なので、$m = \frac{Y}{X}$ （$X \neq 0$）。

(2) より $X + mY - 2m - 2 = 0$ である。

$m = \frac{Y}{X}$ を (2) に代入すると、$X + \frac{Y}{X}Y - 2\frac{Y}{X} - 2 = 0$ となる。

両辺に $X$ を掛けて整理すると、$X^2 + Y^2 - 2Y - 2X = 0$ となる。

$X^2 - 2X + Y^2 - 2Y = 0$

$(X - 1)^2 + (Y - 1)^2 = 2$

これは、中心 $(1, 1)$, 半径 $\sqrt{2}$ の円を表す。

ただし、$X = 0$ のとき、$Y = 0$ となる。このとき、$m = \frac{Y}{X}$ は定義できない。

$X = 0, Y = 0$ を $x + my - 2m - 2 = 0$ に代入すると、$0 + 0 - 2m - 2 = 0$ となり、$m = -1$ となるので、交点 $(0, 0)$ は除かれる。

$X \ne 0$のとき

$mX-Y=0$より$Y=mX$

これを$X+mY-2m-2=0$に代入すると

$X+m(mX)-2m-2=0$

$X-2=m(2-mX)$

$X=2$のとき$m=0$、このとき$Y=0$

$X\ne2$のとき$m=\frac{X-2}{2-X^2}$

$X\ne0$より、$Y=mX=\frac{X(X-2)}{2-X^2}$

したがって、$X=2$,$Y=0$のときも円の方程式を満たさない

3. 最終的な答え

(1) A: $(0, 0)$, B: $(2, 2)$

(2) 2直線は直交する

(3) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2$。ただし、点 $(0,0)$ を除く。