放物線 $C_1: y=x^2+2x+4$ と $C_2: y=x^2-2x+2$ が与えられている。 (1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y=x^2+2x+4$ と $C_2: y=x^2-2x+2$ が与えられている。

(1) $C_1$ と $C_2$ の両方に接する直線 $l$ の方程式を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ と $l$ で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を $y = ax + b$ とおく。

$C_1$ と $l$ が接するための条件は、$x^2+2x+4 = ax+b$ が重解を持つことである。

$x^2 + (2-a)x + (4-b) = 0$ の判別式 $D_1 = (2-a)^2 - 4(4-b) = 0$。

整理すると $a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$。

同様に、$C_2$ と $l$ が接するための条件は、$x^2-2x+2 = ax+b$ が重解を持つことである。

$x^2 + (-2-a)x + (2-b) = 0$ の判別式 $D_2 = (-2-a)^2 - 4(2-b) = 0$。

整理すると $a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$。

$a^2 - 4a + 4b - 12 = 0$ と $a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$ の差をとると、

$-8a - 8 = 0$ より $a = -1$。

$a = -1$ を $a^2 + 4a + 4b - 4 = 0$ に代入すると、

$1 - 4 + 4b - 4 = 0$ より $4b = 7$。よって、$b = \frac{7}{4}$。

したがって、$l$ の方程式は $y = -x + \frac{7}{4}$。問題文には$y = -x + \frac{\boxed{1}}{\boxed{2}}$となっているので、$\frac{7}{4} = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$

より$\frac{5}{4}$が必要である。

(2) $C_1: y = x^2 + 2x + 4$ と $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ の交点を求める。

$x^2 + 2x + 4 = x^2 - 2x + 2$ より $4x = -2$。よって $x = -\frac{1}{2}$。

このとき、$y = (-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{1}{2}) + 2 = \frac{1}{4} + 1 + 2 = \frac{13}{4}$。

$C_1$ と $l: y = -x + \frac{7}{4}$ の交点を求める。

$x^2 + 2x + 4 = -x + \frac{7}{4}$ より $x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 0$。

$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$ より $x = -\frac{3}{2}$。接点の座標は $(-\frac{3}{2}, \frac{13}{4})$。

$C_2$ と $l: y = -x + \frac{7}{4}$ の交点を求める。

$x^2 - 2x + 2 = -x + \frac{7}{4}$ より $x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$。

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$。接点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$。

面積は $\int_{-3/2}^{-1/2} (x^2+2x+4 - (-x+7/4)) dx - \int_{-1/2}^{1/2} (x^2-2x+2 - (-x+7/4)) dx$

$= \int_{-3/2}^{-1/2} (x^2+3x+9/4) dx - \int_{-1/2}^{1/2} (x^2-x+1/4) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{4}x]_{-3/2}^{-1/2} - [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x]_{-1/2}^{1/2}$

$= [(\frac{-1}{24} + \frac{3}{8} - \frac{9}{8}) - (\frac{-27}{24} + \frac{27}{8} - \frac{27}{8})] - [(\frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) - (\frac{-1}{24} - \frac{1}{8} - \frac{1}{8})]$

$= (\frac{26}{24} - \frac{6}{8}) - (\frac{2}{24}) = \frac{26-18-2}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

C1とC2とｌで囲まれた面積なので、２つの接点のx座標より小さい方から大きい方までの定積分で、(C1-l)-(C2-l) dxとなる。接点はそれぞれ-3/2 と 1/2。

$\int_{-3/2}^{1/2} (C1-l)dx-\int_{-3/2}^{1/2} (C2-l)dx$=$\int_{-3/2}^{1/2} (C1-C2)dx$=$\int_{-3/2}^{1/2} 4x+2 dx$= $[2x^2+2x]_{-3/2}^{1/2} = (1/2+1)-(9/2-3) = 3/2 - 3/2=0$

$S = \int_{-3/2}^{1/2}|(x^2+2x+4) - (x^2-2x+2)|dx = \int_{-3/2}^{1/2}|4x+2|dx$

$S = \int_{-3/2}^{-1/2}(-4x-2)dx+\int_{-1/2}^{1/2}(4x+2)dx=[-2x^2-2x]_{-3/2}^{-1/2} + [2x^2+2x]_{-1/2}^{1/2}$

$=[-1/2+1]-[-(9/2)+3]+ [1/2+1]-[1/2-1] =1/2+3/2 + 3/2 - (-1/2)=1/2+3/2+3/2+1/2=8/2=4$

放物線の交点がx = -1/2、lと接しているx = -3/2,x =1/2 で囲まれた部分の面積は1/4では無さそう。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + \frac{7}{4}$

(2) $\frac{3}{4}$