問題文は「次の図で点A、Bは放物線と直線の交点です。△OABの面積を求めなさい。」とあります。ここでは、(1)の問題を解きます。 (1) 放物線は $y = \frac{1}{2}x^2$、直線は $y = 2x + 6$ で、点Aの座標は$(-2, 2)$、点Bの座標は$(6, 18)$です。△OABの面積を求める必要があります。

1. 問題の内容

問題文は「次の図で点A、Bは放物線と直線の交点です。△OABの面積を求めなさい。」とあります。ここでは、(1)の問題を解きます。

(1) 放物線は $y = \frac{1}{2}x^2$、直線は $y = 2x + 6$ で、点Aの座標は$(-2, 2)$、点Bの座標は$(6, 18)$です。△OABの面積を求める必要があります。

2. 解き方の手順

△OABの面積は、原点Oを通り線分ABに平行な直線と、線分ABとの距離を高さ、線分ABを底辺とすると計算できます。しかし、計算が複雑になるため、ここでは、△OABをx軸に平行な直線で分割し、2つの三角形の面積を計算する方法で解きます。

まず、点Aと点Bのx座標から、x軸に平行な線を引き、△OABを2つの三角形に分割します。

この分割された三角形の面積は、それぞれの底辺と高さを用いて計算します。

△OABの面積は、これらの2つの三角形の面積の合計になります。

Aのx座標は-2、Bのx座標は6なので、y軸に平行な線分を考え、それぞれの三角形の面積を計算します。

三角形OABの面積を求めるために、AとBからx軸に垂線を下ろし、それぞれC,Dとします。このとき、Cの座標は(-2,0), Dの座標は(6,0)となります。

すると、三角形OABは三角形OACと三角形OBDから、三角形OCDを除いたものとなります。

三角形OACの面積は、$\frac{1}{2} \cdot OC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$

三角形OBDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot OD \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 18 = 54$

線分ABを底辺とする高さの等しい三角形OABの面積を求めます。

線分ABの式は$y=2x+6$です。

点O(0,0)と直線$2x-y+6=0$の距離dは、

$d=\frac{|2(0)-0+6|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

ABの長さは、$\sqrt{(6-(-2))^2+(18-2)^2}=\sqrt{64+256}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$

三角形OABの面積は$\frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{5} \cdot \frac{6}{\sqrt{5}}=24$

3. 最終的な答え

△OABの面積は 24