長方形ABCDにおいて、AB = 8cm, AD = 15cmです。点PはBからCへ、点QはDからCへそれぞれ毎秒1cmの速さで移動します。点Pと点Qが同時に出発するとき、三角形PCQの面積が16cm$^2$となるのは何秒後か、すべて求めなさい。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB = 8cm, AD = 15cmです。点PはBからCへ、点QはDからCへそれぞれ毎秒1cmの速さで移動します。点Pと点Qが同時に出発するとき、三角形PCQの面積が16cm$^2$となるのは何秒後か、すべて求めなさい。

2. 解き方の手順

出発してから$x$秒後のPCとQCの長さを求めます。

PCの長さは、BC - BP = 8 - $x$ cmです。

QCの長さは、DC - DQ = 15 - $x$ cmです。

三角形PCQの面積は、$\frac{1}{2} \times PC \times QC$で表されます。

三角形PCQの面積が16cm$^2$となるので、以下の式が成り立ちます。

$\frac{1}{2}(8-x)(15-x) = 16$

これを解いて$x$を求めます。

両辺を2倍して、

$(8-x)(15-x) = 32$

展開して、

$120 - 8x - 15x + x^2 = 32$

$x^2 - 23x + 120 = 32$

$x^2 - 23x + 88 = 0$

因数分解して、

$(x - 8)(x - 11) = 0$

したがって、$x = 8$または$x = 11$となります。

PはBからCまで、QはDからCまで移動します。

PがCに到達するのは8秒後です。QがCに到達するのは15秒後です。

したがって、$0 \le x \le 8$かつ$0 \le x \le 15$である必要があるので、$0 \le x \le 8$を満たす必要があります。

$x = 8$と$x = 11$は両方とも$x \le 8$を満たしていますか？いいえ、$x = 11$は満たしていません。

$x=8$のとき、PC=8-8=0なので、三角形PCQは存在しません。

PはCに着いた時点で停止し、その後は存在しませんが、QはCに着いてから停止するまで移動を続けます。

$x = 8$の時、PはCに到達するため、$8 < x \le 15$の範囲について考えます。この時、PC = 0 とみなせるので面積は16になり得ません。

$x = 11$の時、$8-x = 8-11 = -3 < 0$であり、$15-x = 15-11 = 4 > 0$です。PがCを通過していることになります。PはBからCまでしか移動しないので、11秒後に面積が16になることはありません。

この問題の条件である$0 \le x \le 8$と$0 \le x \le 15$より、$0 \le x \le 8$です。

このことから、$x = 8$以外の解は存在しません。

改めて整理します。

$\frac{1}{2}(8-x)(15-x) = 16$

$x^2-23x+88 = 0$

$(x-8)(x-11) = 0$

$x=8$ または $x=11$

$x$は0から8の範囲なので、$x=8$のみが解の候補となりえます。

$x=8$の時、PはCに到着するので、三角形PCQの面積は0になります。

よって、題意を満たすxは存在しません。

3. 最終的な答え

存在しない