一辺が12cmの正方形ABCDがある。点PはAを出発し、辺AB上を毎秒2cmの速さでBまで動く。点QはDを出発し、辺DA上を毎秒1cmの速さでAまで動く。点Pと点Qが同時に出発したとき、四角形PBCDQの面積が124cm$^2$になるのは出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

一辺が12cmの正方形ABCDがある。点PはAを出発し、辺AB上を毎秒2cmの速さでBまで動く。点QはDを出発し、辺DA上を毎秒1cmの速さでAまで動く。点Pと点Qが同時に出発したとき、四角形PBCDQの面積が124cm$^2$になるのは出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

出発してから$x$秒後の四角形PBCDQの面積を考える。

APの長さは$2x$cm、DQの長さは$x$cmとなる。

三角形APQの面積は$\frac{1}{2} \times AP \times AQ$で計算できる。

$AQ = AD - DQ = 12 - x$だから、三角形APQの面積は$\frac{1}{2} \times 2x \times (12-x) = x(12-x)$となる。

正方形ABCDの面積は$12 \times 12 = 144$cm$^2$である。

四角形PBCDQの面積は、正方形ABCDの面積から三角形APQの面積を引いたものであるから、

$144 - x(12-x)$

これが124cm$^2$になるような$x$を求める。

$144 - x(12-x) = 124$

$144 - 12x + x^2 = 124$

$x^2 - 12x + 144 - 124 = 0$

$x^2 - 12x + 20 = 0$

この二次方程式を解く。

$(x - 2)(x - 10) = 0$

$x = 2$または$x = 10$

ここで、点Pは毎秒2cmでAB上を動くので、Bに到達するまでに$12/2=6$秒かかる。点Qは毎秒1cmでDA上を動くので、Aに到達するまでに$12/1=12$秒かかる。したがって、$x$は6以下でなければならない。

よって、$x=2$

3. 最終的な答え

2秒後