直角三角形ABCにおいて、点PはAを出発してAB上を毎秒2cmでBまで動き、点QはCを出発してBC上を毎秒1cmでBまで動く。AB = 8cm, BC = 12cmである。点P, Qが同時に出発したとき、四角形ACQPの面積が39cm²になるのは、出発してから何秒後か求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点PはAを出発してAB上を毎秒2cmでBまで動き、点QはCを出発してBC上を毎秒1cmでBまで動く。AB = 8cm, BC = 12cmである。点P, Qが同時に出発したとき、四角形ACQPの面積が39cm²になるのは、出発してから何秒後か求める。

2. 解き方の手順

まず、出発してから$x$秒後のAPの長さと、BQの長さを求める。

APの長さは、毎秒2cmで動くので$2x$ cm。

BQの長さは、BC - CQであり、CQは毎秒1cmで動くので$CQ = x$ cm。

したがって、$BQ = 12 - x$ cmとなる。

次に、三角形ABCの面積を計算する。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 = 48$ cm²

三角形PBQの面積を計算する。

三角形PBQの面積は、$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$。

PBの長さは、AB - APであり、$PB = 8 - 2x$ cm

BQの長さは、$12 - x$ cmである。

三角形PBQの面積は、$\frac{1}{2} \times (8-2x) \times (12-x)$ cm²となる。

四角形ACQPの面積は、三角形ABCの面積から三角形PBQの面積を引いたものである。

四角形ACQPの面積は、$48 - \frac{1}{2} (8-2x)(12-x) = 39$ となる。

上記の式を整理して、$x$を求める。

$48 - \frac{1}{2} (96 - 8x - 24x + 2x^2) = 39$

$48 - \frac{1}{2} (96 - 32x + 2x^2) = 39$

$96 - (96 - 32x + 2x^2) = 78$

$96 - 96 + 32x - 2x^2 = 78$

$-2x^2 + 32x - 78 = 0$

$x^2 - 16x + 39 = 0$

$(x - 3)(x - 13) = 0$

$x = 3, 13$

ただし、$x$は0から4の間の値を取るので(点PがBに着くまで)、$x = 3$が適切である。

また、$x$は0から12の間の値を取るので(点QがBに着くまで)、$x = 13$は不適切である。点PがBに着くのは$8/2 = 4$秒後、点QがBに着くのは$12/1 = 12$秒後なので、両方の条件を満たす必要がある。

3. 最終的な答え

3秒後