直角三角形ABCがあり、AB = 12cm, BC = 17cm である。点PはBを出発してAB上を秒速2cmでAまで動き、点QはBを出発してBC上を秒速3cmでCまで動く。点P, Qが同時に出発したとき、三角形PBQの面積が75 $cm^2$ になるのは、出発してから何秒後か、すべて求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB = 12cm, BC = 17cm である。点PはBを出発してAB上を秒速2cmでAまで動き、点QはBを出発してBC上を秒速3cmでCまで動く。点P, Qが同時に出発したとき、三角形PBQの面積が75 $cm^2$ になるのは、出発してから何秒後か、すべて求めよ。

2. 解き方の手順

出発してから$x$秒後のPBの長さは $2x$ cm、BQの長さは $3x$ cmとなる。

三角形PBQの面積は、$\frac{1}{2} \times PB \times BQ$ である。

三角形PBQの面積が75 $cm^2$ になるとき、

$$\frac{1}{2} \times 2x \times 3x = 75$$

$$3x^2 = 75$$

$$x^2 = 25$$

$$x = \pm 5$$

$x$は時間なので、$x>0$ である。

また、PはAB上を動くので、$2x \le 12$ つまり $x \le 6$。

QはBC上を動くので、$3x \le 17$ つまり $x \le \frac{17}{3} \approx 5.67$。

したがって、$0 < x \le \frac{17}{3}$を満たす必要がある。

$x=5$ は上記の条件を満たす。

3. 最終的な答え

5秒後