長方形ABCDがあり、$AB = 12$ cm, $AD = 20$ cmである。点PはCを出発し、毎秒1cmの速さでDを通ってAまで動く。点PがCを出発してから$x$秒後の四角形ABCPの面積を$y$ cm$^2$とするとき、$12 \le x \le 32$のときの$y$を$x$の式で表す。

1. 問題の内容

長方形ABCDがあり、$AB = 12$ cm, $AD = 20$ cmである。点PはCを出発し、毎秒1cmの速さでDを通ってAまで動く。点PがCを出発してから$x$秒後の四角形ABCPの面積を$y$ cm$^2$とするとき、$12 \le x \le 32$のときの$y$を$x$の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、点Pが辺DA上にあるときの$x$の範囲を考える。

点PがCを出発してからDに到達するまでにかかる時間は、$CD = 12$ cmなので、12秒である。

点PがDからAまで移動する時間は、$DA = 20$ cmなので、20秒である。

したがって、点PがDを出発してから$x$秒後の位置は、$x - 12$である。このときの線分APの長さは、$AD - (x-12) = 20 - (x - 12) = 32 - x$となる。

四角形ABCPの面積$y$は、長方形ABCDの面積から三角形APBAの面積を引いたものとして計算できる。長方形ABCDの面積は、$12 \times 20 = 240$ cm$^2$である。三角形ABPの面積は、$AB \times AP / 2 = 12 \times (32-x) / 2 = 6(32-x) = 192 - 6x$ cm$^2$である。

よって、$y = 240 - (192 - 6x) = 240 - 192 + 6x = 48 + 6x$となる。

3. 最終的な答え

$y = 6x + 48$