(1) 放物線 $y = x^2 + 2x + a^2 - 4$ が x軸に接するときの定数 $a$ の値を求める問題。ただし、$a > 0$。 (2) 放物線 $y = x^2 - 5x + 2$ と直線 $y = kx + 1$ の共有点の個数が2個であるときの定数 $k$ の範囲を求める問題。 (3) 2次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるときの定数 $a$ の範囲を求める問題。 (4) 方程式 $(x+2)|x-1| = k$ の実数解の個数が3個であるとき、および1個であるときの定数 $k$ の範囲を求める問題。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2 + 2x + a^2 - 4$ が x軸に接するときの定数 $a$ の値を求める問題。ただし、$a > 0$。

(2) 放物線 $y = x^2 - 5x + 2$ と直線 $y = kx + 1$ の共有点の個数が2個であるときの定数 $k$ の範囲を求める問題。

(3) 2次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるときの定数 $a$ の範囲を求める問題。

(4) 方程式 $(x+2)|x-1| = k$ の実数解の個数が3個であるとき、および1個であるときの定数 $k$ の範囲を求める問題。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = x^2 + 2x + a^2 - 4$ が x軸に接するということは、判別式 $D = 0$ となるということ。

$D = 2^2 - 4(1)(a^2 - 4) = 4 - 4a^2 + 16 = 20 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 20$

$a^2 = 5$

$a = \pm \sqrt{5}$

$a > 0$ より、$a = \sqrt{5}$

(2)

$x^2 - 5x + 2 = kx + 1$

$x^2 - (5+k)x + 1 = 0$

共有点の個数が2個なので、判別式 $D > 0$

$D = (5+k)^2 - 4(1)(1) = 25 + 10k + k^2 - 4 = k^2 + 10k + 21 > 0$

$(k+3)(k+7) > 0$

$k < -7, -3 < k$

(3)

$x^2 + ax + a + 3 > 0$ の解がすべての実数であるということは、判別式 $D < 0$ となるということ。

$D = a^2 - 4(1)(a+3) = a^2 - 4a - 12 < 0$

$(a-6)(a+2) < 0$

$-2 < a < 6$

(4)

$f(x)=(x+2)|x-1|$とする。

$x \geq 1$のとき$f(x)=(x+2)(x-1)=x^2+x-2$

$x < 1$のとき$f(x)=-(x+2)(x-1)=-x^2-x+2$

$f(1) = 0, f(-2)=0$.

$f(x)$の$x\geq 1$のときの頂点は$x=-\frac{1}{2}$より右側にあるので、$x\geq 1$では、$x=1$の近くで単調増加。

$x < 1$のとき$f'(x)=-2x-1=0$より$x=-\frac{1}{2}$

$f(-\frac{1}{2}) = -(\frac{1}{4}-\frac{1}{2})+2 = \frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$.

$k=\frac{9}{4}$のとき、解は$x = -2, x=1, x = -\frac{1}{2}$なので3個。

$f(x)=k$の解が1個となるのは、 $k < 0$ の場合。

よって実数解が3個の時、$k = \frac{9}{4}$. これは解答群にないため、$-2 < k < \frac{9}{4}$ (これは3つの交点を持つときの範囲を求めていると思われる)。グラフより$k=\frac{9}{4}$で解が3個なので，$1 < k < \frac{9}{4}$となる$k$が存在する。　

実数解が1個の時は $k<0$. 解答群では、 $k < 0, \frac{9}{4} < k$ があるが，これは明らかに誤り。グラフを描画すれば$k=0$の時、$x=1, x=-2$で解は2個である．よって、適当なものはない．

解答群から推定すると、問題文が間違っているか、解答群が間違っている。

(もし問題文の|x-1|が(x-1)の二乗だとすると計算できるが,解答群にない答えになるため、ここではこのまま進める)

3. 最終的な答え

1: エ

2: エ

3: ア

4: オ

5: オ