(1) $(2x^2-3x-1)(3x^2-4x+1)$ を展開したときの $x^3$ の係数を求める。 (2) $6a^2 - 5ab - 4b^2$ を因数分解する。 (3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ を計算する。 (4) 2次方程式 $x^2 + 6x + 7 - a = 0$ が重解を持つときの定数 $a$ の値を求める。 (5) 軸が $x=1$ で、2点 $(3,6)$, $(0,3)$ を通る放物線を表す2次関数を求める。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $(2x^2-3x-1)(3x^2-4x+1)$ を展開したときの $x^3$ の係数を求める。

(2) $6a^2 - 5ab - 4b^2$ を因数分解する。

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ を計算する。

(4) 2次方程式 $x^2 + 6x + 7 - a = 0$ が重解を持つときの定数 $a$ の値を求める。

(5) 軸が $x=1$ で、2点 $(3,6)$, $(0,3)$ を通る放物線を表す2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2x^2-3x-1)(3x^2-4x+1)$ を展開した際、$x^3$ の項は、

$(2x^2)(-4x) + (-3x)(3x^2)$

から得られます。

$2x^2 \cdot (-4x) = -8x^3$

$-3x \cdot 3x^2 = -9x^3$

したがって、$x^3$ の係数は $-8 - 9 = -17$

(2) $6a^2 - 5ab - 4b^2$ を因数分解します。

$(2a - b)(3a + 4b)$

(3) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ を計算します。

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = \sqrt{3}-1$

(4) 2次方程式 $x^2 + 6x + 7 - a = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ となることです。

$D = 6^2 - 4(1)(7-a) = 36 - 28 + 4a = 8 + 4a$

$D = 0$ より $8 + 4a = 0$ なので、$4a = -8$

$a = -2$

(5) 軸が $x=1$ なので、放物線は $y = A(x-1)^2 + B$ と表せます。

2点 $(3,6), (0,3)$ を通るので、

$6 = A(3-1)^2 + B = 4A + B$

$3 = A(0-1)^2 + B = A + B$

この連立方程式を解きます。

$4A + B = 6$

$A + B = 3$

上の式から下の式を引くと、

$3A = 3$ より $A = 1$

$A + B = 3$ より $1 + B = 3$ なので、$B = 2$

したがって、$y = (x-1)^2 + 2 = x^2 - 2x + 1 + 2 = x^2 - 2x + 3$

3. 最終的な答え

(1) -17

(2) $(2a - b)(3a + 4b)$

(3) $\sqrt{3} - 1$

(4) -2

(5) $y = x^2 - 2x + 3$