$a, b$は実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + 2bx + 5 = 0$ が $2-i$ を解にもつとき、定数$a, b$の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

49番の問題を解きます。

1. 問題の内容

$a, b$は実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + 2bx + 5 = 0$ が $2-i$ を解にもつとき、定数$a, b$の値を求めよ。また、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

3次方程式 $x^3 + ax^2 + 2bx + 5 = 0$ の係数 $a$ と $b$ は実数であるため、 $2-i$ が解ならば、共役な複素数 $2+i$ も解である。

3次方程式の解を $\alpha, 2-i, 2+i$ とすると、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

$\alpha + (2-i) + (2+i) = -a$

$\alpha (2-i) + \alpha (2+i) + (2-i)(2+i) = 2b$

$\alpha (2-i)(2+i) = -5$

まず3つ目の式から$\alpha$を求める。

$\alpha (2-i)(2+i) = -5$

$\alpha (4 - i^2) = -5$

$\alpha (4 - (-1)) = -5$

$5\alpha = -5$

$\alpha = -1$

よって、3次方程式の3つの解は $-1, 2-i, 2+i$ である。

次に、1つ目の式から $a$ を求める。

$-1 + (2-i) + (2+i) = -a$

$-1 + 4 = -a$

$3 = -a$

$a = -3$

最後に、2つ目の式から $b$ を求める。

$(-1) (2-i) + (-1) (2+i) + (2-i)(2+i) = 2b$

$-2 + i - 2 - i + 4 - i^2 = 2b$

$-4 + 4 - (-1) = 2b$

$1 = 2b$

$b = \frac{1}{2}$

したがって、$a = -3, b = \frac{1}{2}$ であり、他の解は $-1$ および $2+i$ である。

3. 最終的な答え

$a = -3, b = \frac{1}{2}$

他の解は $-1, 2+i$