与えられた式 $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開し、簡単にすること。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開し、簡単にすること。

2. 解き方の手順

まず、$(a+2b)(a-2b)$ を計算します。これは和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用できます。

この場合、$A = a$ 、$B = 2b$ なので、

$(a+2b)(a-2b) = a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$ となります。

次に、$(a+2b)^2(a-2b)^2 = [(a+2b)(a-2b)]^2$ と変形できます。

先ほどの結果を用いると、

$[(a+2b)(a-2b)]^2 = (a^2 - 4b^2)^2$ となります。

最後に、$(a^2 - 4b^2)^2$ を展開します。これは $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ の公式を利用できます。

この場合、$A = a^2$、$B = 4b^2$ なので、

$(a^2 - 4b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$ となります。

3. 最終的な答え

$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$