問題46：$a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) \geq 16$ を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。

1. 問題の内容

問題46：$a>0$, $b>0$ のとき、不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) \geq 16$ を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a})$ を展開します。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) = ab + 9 + 1 + \frac{9}{ab} = ab + \frac{9}{ab} + 10$

次に、相加平均と相乗平均の関係を使います。$ab > 0$ より、

$\frac{ab + \frac{9}{ab}}{2} \geq \sqrt{ab \cdot \frac{9}{ab}} = \sqrt{9} = 3$

したがって、$ab + \frac{9}{ab} \geq 6$

よって、$ab + \frac{9}{ab} + 10 \geq 6 + 10 = 16$

したがって、$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) \geq 16$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$ab = \frac{9}{ab}$ のとき、すなわち $ab = 3$ のときです。

3. 最終的な答え

不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) \geq 16$ は証明された。等号が成り立つのは、$ab=3$ のときである。