多項式 $P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りが $3x+7$ であるとき、以下の問いに答えます。 (1) $P(-1)$ と $P(2)$ の値を $a, b$ で表す。 (2) 定数 $a, b$ の値を求める。

## 問題48

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りが $3x+7$ であるとき、以下の問いに答えます。

(1) $P(-1)$ と $P(2)$ の値を $a, b$ で表す。

(2) 定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(-1)$ と $P(2)$ の値を $a, b$ で表す。

$P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ に $x = -1$ と $x = 2$ を代入します。

$P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + a(-1) + b = -1 + 2 - a + b = 1 - a + b$

$P(2) = (2)^3 + 2(2)^2 + a(2) + b = 8 + 8 + 2a + b = 16 + 2a + b$

(2) 定数 $a, b$ の値を求める。

$P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りが $3x+7$ であることから、剰余の定理より、

$P(-1) = 3(-1) + 7 = -3 + 7 = 4$

$P(2) = 3(2) + 7 = 6 + 7 = 13$

(1) で求めた式と上記の値を連立方程式として解きます。

$1 - a + b = 4$

$16 + 2a + b = 13$

連立方程式を整理すると、

$-a + b = 3$

$2a + b = -3$

2つの式を引き算すると、

$(-a + b) - (2a + b) = 3 - (-3)$

$-3a = 6$

$a = -2$

$a = -2$ を $-a + b = 3$ に代入すると、

$-(-2) + b = 3$

$2 + b = 3$

$b = 1$

3. 最終的な答え

(1) $P(-1) = 1 - a + b$, $P(2) = 16 + 2a + b$

(2) $a = -2$, $b = 1$