$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{9}{a}\right) \geq 16$ を証明し、等号が成り立つときを答える。

## 問題46

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{9}{a}\right) \geq 16$ を証明し、等号が成り立つときを答える。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の左辺を展開する。

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\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{9}{a}\right) = ab + 9 + 1 + \frac{9}{ab} = ab + \frac{9}{ab} + 10

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ここで、$ab > 0$ であるから、相加相乗平均の不等式を用いると、

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ab + \frac{9}{ab} \geq 2\sqrt{ab \cdot \frac{9}{ab}} = 2\sqrt{9} = 6

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したがって、

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\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{9}{a}\right) = ab + \frac{9}{ab} + 10 \geq 6 + 10 = 16

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よって、不等式 $\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{9}{a}\right) \geq 16$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$ab = \frac{9}{ab}$ のとき、つまり $ab = 3$ のときである。

3. 最終的な答え

不等式 $\left(a + \frac{1}{b}\right)\left(b + \frac{9}{a}\right) \geq 16$ は証明された。

等号が成り立つのは、$ab = 3$ のとき。

## 問題47

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3kx + 9k - 5 = 0$ が異なる2つの虚数解をもつとき、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの虚数解をもつ条件は、判別式 $D < 0$ である。

判別式 $D$ は、

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D = (-3k)^2 - 4(9k - 5) = 9k^2 - 36k + 20

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したがって、$D < 0$ より、

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9k^2 - 36k + 20 < 0

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この2次不等式を解くために、まず $9k^2 - 36k + 20 = 0$ を解く。

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k = \frac{36 \pm \sqrt{(-36)^2 - 4(9)(20)}}{2(9)} = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 720}}{18} = \frac{36 \pm \sqrt{576}}{18} = \frac{36 \pm 24}{18}

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よって、$k = \frac{36 + 24}{18} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ または $k = \frac{36 - 24}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$。

したがって、 $9k^2 - 36k + 20 < 0$ の解は $\frac{2}{3} < k < \frac{10}{3}$ である。

3. 最終的な答え

定数 $k$ の値の範囲は、 $\frac{2}{3} < k < \frac{10}{3}$。