問題47：2次方程式 $x^2 - 3kx + 9k - 5 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。 問題48：多項式 $P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りが $3x+7$ であるとき、$P(-1)$, $P(2)$ の値を $a$, $b$ で表せ。

1. 問題の内容

問題47：2次方程式 $x^2 - 3kx + 9k - 5 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

問題48：多項式 $P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りが $3x+7$ であるとき、$P(-1)$, $P(2)$ の値を $a$, $b$ で表せ。

2. 解き方の手順

問題47：

2次方程式が異なる2つの虚数解を持つためには、判別式 $D$ が負である必要があります。

$D = (-3k)^2 - 4(1)(9k - 5) = 9k^2 - 36k + 20 < 0$

$9k^2 - 36k + 20 = 0$ を解くと、$k = \frac{36 \pm \sqrt{36^2 - 4 \cdot 9 \cdot 20}}{2 \cdot 9} = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 720}}{18} = \frac{36 \pm \sqrt{576}}{18} = \frac{36 \pm 24}{18} = \frac{6 \pm 4}{3}$

よって、$k = \frac{10}{3}$ または $k = \frac{2}{3}$

$9k^2 - 36k + 20 < 0$ となる $k$ の範囲は $\frac{2}{3} < k < \frac{10}{3}$ です。

問題48：

$P(x) = x^3 + 2x^2 + ax + b$

$P(x)$ を $(x+1)(x-2)$ で割った余りが $3x+7$ なので、

$P(x) = (x+1)(x-2)Q(x) + 3x + 7$ （$Q(x)$ は商）

$P(-1) = (-1+1)(-1-2)Q(-1) + 3(-1) + 7 = 0 + (-3) + 7 = 4$

$P(2) = (2+1)(2-2)Q(2) + 3(2) + 7 = 0 + 6 + 7 = 13$

問題文より

$P(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + a(-1) + b = -1 + 2 - a + b = 1 - a + b$

$P(2) = (2)^3 + 2(2)^2 + a(2) + b = 8 + 8 + 2a + b = 16 + 2a + b$

したがって、$P(-1) = 1-a+b$ であり、$P(2) = 16+2a+b$ となります。

3. 最終的な答え

問題47：$\frac{2}{3} < k < \frac{10}{3}$

問題48：$P(-1) = 1-a+b$, $P(2) = 16+2a+b$