SENSEI AI
About App

与えられた5つのベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ に対して、1次独立なベクトルの最大個数 $r$ を求め、1次独立なベクトルを $r$ 個選び、残りのベクトルをそれらの1次結合で表す。 ベクトルは以下の通りです。 $\vec{a_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{a_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{a_3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}$, $\vec{a_4} = \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{a_5} = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 7 \\ 0 \end{bmatrix}$

代数学線形代数ベクトル1次独立線形結合行基本変形簡約化
2025/8/10

1. 問題の内容

与えられた5つのベクトル a1⃗,a2⃗,a3⃗,a4⃗,a5⃗\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5} に対して、1次独立なベクトルの最大個数 rr を求め、1次独立なベクトルを rr 個選び、残りのベクトルをそれらの1次結合で表す。
ベクトルは以下の通りです。
a1⃗=[1130]\vec{a_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}, a2⃗=[120−1]\vec{a_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}, a3⃗=[13−3−2]\vec{a_3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -3 \\ -2 \end{bmatrix}, a4⃗=[−2−41−1]\vec{a_4} = \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, a5⃗=[−1−470]\vec{a_5} = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 7 \\ 0 \end{bmatrix}

2. 解き方の手順

与えられたベクトルを列ベクトルとして持つ行列を作り、行基本変形を用いて簡約化します。簡約化された行列において、ピボット（leading 1）がある列に対応する元のベクトルが1次独立なベクトルになります。ピボットがない列に対応するベクトルは、1次独立なベクトルの線形結合として表すことができます。
行列 AA を次のように定義します。
A=[111−2−1123−4−430−3170−1−2−10]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 & -4 & -4 \\ 3 & 0 & -3 & 1 & 7 \\ 0 & -1 & -2 & -1 & 0 \end{bmatrix}
行基本変形を行います。

1. 2行目から1行目を引く: $R_2 \leftarrow R_2 - R_1$

2. 3行目から1行目の3倍を引く: $R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$

[111−2−1012−2−30−3−67100−1−2−10]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & -3 & -6 & 7 & 10 \\ 0 & -1 & -2 & -1 & 0 \end{bmatrix}

3. 3行目に2行目の3倍を足す: $R_3 \leftarrow R_3 + 3R_2$

4. 4行目に2行目を足す: $R_4 \leftarrow R_4 + R_2$

[111−2−1012−2−300011000−3−3]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & -3 \end{bmatrix}

5. 4行目に3行目の3倍を足す: $R_4 \leftarrow R_4 + 3R_3$

[111−2−1012−2−30001100000]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

6. 1行目から2行目を引く: $R_1 \leftarrow R_1 - R_2$

[10−102012−2−30001100000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

7. 2行目に3行目の2倍を足す: $R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3$

[10−1020120−10001100000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
簡約化された行列から、1, 2, 4列に対応するベクトルが1次独立であることがわかります。したがって、r=3r=3 であり、1次独立なベクトルの組として {a1⃗,a2⃗,a4⃗}\{\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_4}\} が選べます。
a3⃗\vec{a_3} と a5⃗\vec{a_5} を {a1⃗,a2⃗,a4⃗}\{\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_4}\} の線形結合で表します。簡約化された行列から、
a3⃗=−a1⃗+2a2⃗\vec{a_3} = -\vec{a_1} + 2\vec{a_2}
a5⃗=2a1⃗−a2⃗+a4⃗\vec{a_5} = 2\vec{a_1} - \vec{a_2} + \vec{a_4}

3. 最終的な答え

1次独立なベクトルの最大個数: r=3r = 3
1次独立なベクトルの組: {a1⃗,a2⃗,a4⃗}\{\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_4}\} (または他の組)
a3⃗=−a1⃗+2a2⃗\vec{a_3} = -\vec{a_1} + 2\vec{a_2}
a5⃗=2a1⃗−a2⃗+a4⃗\vec{a_5} = 2\vec{a_1} - \vec{a_2} + \vec{a_4}

「代数学」の関連問題

与えられた複数の二次方程式を解く問題です。

二次方程式平方根解の公式因数分解
2025/8/10

与えられた連立方程式を解き、$t$と$s$の値を求める問題です。 連立方程式は以下の通りです。 $1 - t = \frac{2}{5}(1 - s)$ $\frac{3}{7}t = s$

連立方程式一次方程式代入法
2025/8/10

与えられた式 $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開し、簡単にすること。

式の展開因数分解二乗の公式
2025/8/10

$x^4 - 16$ を因数分解する問題です。

因数分解多項式代数
2025/8/10

与えられた式 $x^2 - 4xy + 4y^2 - 1$ を因数分解せよ。

因数分解多項式二次式
2025/8/10

与えられた式 $xy - xz - y + z$ を因数分解します。

因数分解多項式
2025/8/10

与えられた四次式 $x^4 - 10x^2 + 9$ を因数分解する問題です。

因数分解多項式四次式二次式
2025/8/10

与えられた2次式 $6x^2 - xy - 12y^2$ を因数分解する問題です。

因数分解二次式たすき掛け
2025/8/10

与えられた式 $12x^2y - 27yz^2$ を因数分解せよ。

因数分解多項式共通因数差の二乗
2025/8/10

与えられた多項式 $4x^3y - 4x^2y^2 + xy^3$ を因数分解する問題です。

因数分解多項式共通因数二次式
2025/8/10