$(x - 2y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の項の係数を求める問題です。

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5. (x-2y)^7 の展開式における x^4y^3 の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x - 2y)^7$ の展開式における $x^4y^3$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用います。$(x - 2y)^7$ の展開式における一般項は以下のようになります。

$_7C_k x^{7-k} (-2y)^k = _7C_k (-2)^k x^{7-k} y^k$

ここで、$x^4y^3$ の項を求めたいので、$7-k=4$ かつ $k=3$ である必要があります。したがって、$k=3$ の場合を考えます。

このとき、項は以下のようになります。

$_7C_3 x^{7-3} (-2y)^3 = _7C_3 x^4 (-2)^3 y^3 = _7C_3 (-8) x^4 y^3$

二項係数 $_7C_3$ は以下のように計算できます。

$_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

したがって、$x^4y^3$ の項は以下のようになります。

$35 \times (-8) x^4 y^3 = -280 x^4 y^3$

よって、$x^4y^3$ の係数は -280 です。

3. 最終的な答え

-280