$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) = ab + 9 + 1 + \frac{9}{ab} = ab + \frac{9}{ab} + 10$

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6. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) \ge 16$ を証明し、また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。

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6. 解き方の手順

1. 与えられた不等式の左辺を展開します。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) = ab + 9 + 1 + \frac{9}{ab} = ab + \frac{9}{ab} + 10$

2. 相加平均・相乗平均の関係を利用します。$a > 0$, $b > 0$ より、$ab > 0$ なので、$ab$ と $\frac{9}{ab}$ に対して相加平均・相乗平均の関係を用いることができます。

$\frac{ab + \frac{9}{ab}}{2} \ge \sqrt{ab \cdot \frac{9}{ab}} = \sqrt{9} = 3$

$ab + \frac{9}{ab} \ge 6$

3. 上記の不等式を元の式に代入します。

$ab + \frac{9}{ab} + 10 \ge 6 + 10 = 16$

よって、$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) \ge 16$ が証明されました。

4. 等号成立条件を考えます。相加平均・相乗平均の関係において等号が成立するのは、$ab = \frac{9}{ab}$ のときです。

$ab = \frac{9}{ab}$

$(ab)^2 = 9$

$ab = 3$ ($ab > 0$ より)

したがって、等号が成立するのは $ab = 3$ のときです。

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6. 最終的な答え

不等式 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) \ge 16$ は証明された。

等号が成立するのは $ab = 3$ のとき。