あるパーティーの費用を参加者から均等に集める。一人600円ずつ集めると800円余り、550円ずつ集めると300円以上の不足となる。570円ずつ集めたところ、最後の1人の支払いが460円未満だった。このパーティーの総費用を求める。

1. 問題の内容

あるパーティーの費用を参加者から均等に集める。一人600円ずつ集めると800円余り、550円ずつ集めると300円以上の不足となる。570円ずつ集めたところ、最後の1人の支払いが460円未満だった。このパーティーの総費用を求める。

2. 解き方の手順

まず、参加者の人数を$x$人、パーティーの総費用を$y$円とします。

条件より、以下の不等式が成り立ちます。

$600x = y + 800$ ...(1)

$550x > y + 300$ ...(2)

(1)を変形して、$y = 600x - 800$ ...(3)

これを(2)に代入すると、$550x > (600x - 800) + 300$

$550x > 600x - 500$

$500 > 50x$

$x < 10$

また、570円ずつ集めたとき、最後の1人が460円未満しか払わなかったことから、

$570(x-1) < y < 570(x-1) + 460$ ...(4)

(3)を(4)に代入すると、

$570(x-1) < 600x - 800 < 570(x-1) + 460$

$570x - 570 < 600x - 800 < 570x - 570 + 460$

$570x - 570 < 600x - 800 < 570x - 110$

まず、$570x - 570 < 600x - 800$より、

$230 < 30x$

$x > \frac{23}{3} \fallingdotseq 7.67$

次に、$600x - 800 < 570x - 110$より、

$30x < 690$

$x < 23$

$x$は整数であるから、$8 \le x \le 9$

$x = 8$ の場合、

$y = 600 \times 8 - 800 = 4800 - 800 = 4000$

しかし、$570(8-1) = 3990$, $570(8-1)+460 = 4450$.

よって、$3990 < y < 4450$ であり、$y = 4000$ は条件を満たす。

$x = 9$ の場合、

$y = 600 \times 9 - 800 = 5400 - 800 = 4600$

$570(9-1) = 4560$, $570(9-1)+460 = 5020$.

よって、$4560 < y < 5020$ であり、$y = 4600$ は条件を満たす。

ここで、550円ずつ集めると300円以上の不足になるという条件を再度確認します。

$x = 8$ の場合、$550 \times 8 = 4400 > 4000 + 300 = 4300$ なので、条件を満たします。

$x = 9$ の場合、$550 \times 9 = 4950 > 4600 + 300 = 4900$ なので、条件を満たします。

さらに、600x = y+800から、

600x - 800 > 0である必要がある。

550x > y + 300より、

550x - 300 > 0である必要がある。

$570(x-1) < y < 570(x-1) + 460$である必要がある。

$x=8$のとき、$570(8-1) = 3990 < y < 570(8-1)+460=4450$

$y = 600(8)-800 = 4000$

$y=4000$の場合、$570 \times 7 + 410 = 4390+410 = 4400 > 4000$となる。

$x=9$のとき、$570(9-1) = 4560 < y < 570(9-1)+460=5020$

$y = 600(9)-800 = 4600$

550x > y + 300で判定する。

x=8のとき、4400 > 4300

x=9のとき、4950 > 4900

460円未満で済んだということは、460円ちょうどもありえない。

$y = 12400$のとき、$x = (12400 + 800)/600 = 13200/600 = 22$

$570 \times 21 < 12400 < 570 \times 21 + 460$

$11970 < 12400 < 12430$

$550 \times 22 = 12100$, $12400 + 300 = 12700$ 不適

$y = 12600$のとき、$x = (12600 + 800)/600 = 13400/600 = 22.33$ 不適

答えは$12400$ 円

3. 最終的な答え

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