第9項が5、第27項が17である等差数列 $\{a_n\}$ がある。 (1) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の整数の項を小さい順に並べたものを数列 $\{b_n\}$ とする。$b_n$ を $n$ を用いて表せ。 (3) (2)のとき、$\sum_{k=1}^n a_k b_k$ と $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k}$ を $n$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

第9項が5、第27項が17である等差数列 $\{a_n\}$ がある。

(1) $a_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の整数の項を小さい順に並べたものを数列 $\{b_n\}$ とする。$b_n$ を $n$ を用いて表せ。

(3) (2)のとき、$\sum_{k=1}^n a_k b_k$ と $\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k}$ を $n$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = an + b$ とおく。

問題文より、

$a_9 = 9a + b = 5$

$a_{27} = 27a + b = 17$

2つの式から $a$ と $b$ を求める。

$27a + b - (9a + b) = 17 - 5$

$18a = 12$

$a = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$

$9 \cdot \frac{2}{3} + b = 5$

$6 + b = 5$

$b = -1$

よって、$a_n = \frac{2}{3}n - 1$

(2) $a_n = \frac{2}{3}n - 1$ が整数となるのは、 $n$ が3の倍数のときである。

$n = 3k$ （$k$ は整数）とおくと、

$a_{3k} = \frac{2}{3} (3k) - 1 = 2k - 1$

数列 $\{b_n\}$ は $\{a_n\}$ の整数の項を小さい順に並べたものなので、

$b_n = a_{3n} = 2n - 1$

(3)

$\sum_{k=1}^n a_k b_k = \sum_{k=1}^n a_k a_{3k} = \sum_{k=1}^n (\frac{2}{3}k - 1) (2k - 1) = \sum_{k=1}^n (\frac{4}{3}k^2 - \frac{2}{3}k - 2k + 1) = \sum_{k=1}^n (\frac{4}{3}k^2 - \frac{8}{3}k + 1)$

$= \frac{4}{3} \sum_{k=1}^n k^2 - \frac{8}{3} \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2}n(n+1) + n$

$= \frac{2}{9}n(n+1)(2n+1) - \frac{4}{3}n(n+1) + n = \frac{n}{9} (2(n+1)(2n+1) - 12(n+1) + 9) = \frac{n}{9} (2(2n^2+3n+1) - 12n - 12 + 9) = \frac{n}{9} (4n^2+6n+2-12n-3) = \frac{n}{9} (4n^2 - 6n - 1)$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(\frac{2}{3}k - 1)(2k - 1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\frac{4}{3}k^2 - \frac{8}{3}k + 1} = \sum_{k=1}^n \frac{3}{4k^2 - 8k + 3} = \sum_{k=1}^n \frac{3}{(2k-1)(2k-3)}$

$\frac{3}{(2k-1)(2k-3)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k-3}$ より、$3 = A(2k-3) + B(2k-1)$

$k = \frac{1}{2}$ のとき、 $3 = -2A + 0 \implies A = -\frac{3}{2}$

$k = \frac{3}{2}$ のとき、 $3 = 0 + 2B \implies B = \frac{3}{2}$

$\sum_{k=1}^n \frac{3}{(2k-1)(2k-3)} = \sum_{k=1}^n (\frac{-3/2}{2k-1} + \frac{3/2}{2k-3}) = \frac{3}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{2k-3} - \frac{1}{2k-1})$

$= \frac{3}{2} ((\frac{1}{-1} - \frac{1}{1}) + (\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \cdots + (\frac{1}{2n-3} - \frac{1}{2n-1})) = \frac{3}{2} (-1 - \frac{1}{2n-1}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{-2n}{2n-1} = \frac{-3n}{2n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{2}{3}n - 1$

(2) $b_n = 2n - 1$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = \frac{n(4n^2 - 6n - 1)}{9}$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k} = \frac{-3n}{2n-1}$