与えられた式 $(2a+b)^2(2a-b)^2$ を展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2a+b)^2(2a-b)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(2a+b)(2a-b)$ の部分を展開し、その後で2乗する、という方針で計算を進めます。

$(2a+b)(2a-b)$ は和と差の積の形なので、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ の公式を利用できます。

$A=2a$, $B=b$ とすると、

$(2a+b)(2a-b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

したがって、与えられた式は

$(2a+b)^2(2a-b)^2 = [(2a+b)(2a-b)]^2 = (4a^2 - b^2)^2$

となります。

次に、$(4a^2 - b^2)^2$ を展開します。 $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ の公式を利用します。

$A = 4a^2$, $B = b^2$ とすると、

$(4a^2 - b^2)^2 = (4a^2)^2 - 2(4a^2)(b^2) + (b^2)^2 = 16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$

3. 最終的な答え

$16a^4 - 8a^2b^2 + b^4$