(1) 1から200までの番号が書かれた200個のボールが入った袋から、以下の手順でボールを取り出します。取り出したボールは袋に戻しません。 * 7の倍数のボールをすべて取り出す。 * 5の倍数のボールをすべて取り出す。 * 2の倍数のボールをすべて取り出す。 (i) 最初の操作で取り出したボールの個数を求めます。 (ii) 2番目の操作の後、袋に残っているボールの数を求めます。 (iii) 3番目の操作の後、袋に残っているボールの数を求めます。 (2) 3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数と3桁で最大の数を求めます。 (3) $\sqrt{\frac{135n}{28}}$が有理数となるような自然数 $n$ のうち、最小の数を求めます。

1. 問題の内容

(1) 1から200までの番号が書かれた200個のボールが入った袋から、以下の手順でボールを取り出します。取り出したボールは袋に戻しません。

* 7の倍数のボールをすべて取り出す。

* 5の倍数のボールをすべて取り出す。

* 2の倍数のボールをすべて取り出す。

(i) 最初の操作で取り出したボールの個数を求めます。

(ii) 2番目の操作の後、袋に残っているボールの数を求めます。

(iii) 3番目の操作の後、袋に残っているボールの数を求めます。

(2) 3で割ると2余り、5で割ると1余り、7で割ると6余る自然数のうち、最小の数と3桁で最大の数を求めます。

(3) $\sqrt{\frac{135n}{28}}$が有理数となるような自然数 $n$ のうち、最小の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) (i) 1から200までの7の倍数の個数を求めます。

$200 \div 7 = 28.57...$ なので、7の倍数は28個です。

(ii) 最初の操作で7の倍数を取り除いた後、袋には $200 - 28 = 172$ 個のボールが残っています。

次に5の倍数のボールを取り除きます。1から200までの5の倍数は $200 \div 5 = 40$ 個あります。

しかし、すでに7の倍数である5の倍数は取り除かれています。7の倍数である5の倍数、つまり35の倍数は、$200 \div 35 = 5.71...$ なので、5個あります。

したがって、2番目の操作で取り除く5の倍数は $40 - 5 = 35$ 個です。

この操作の後、袋に残っているボールの数は $172 - 35 = 137$ 個です。

(iii) 2番目の操作の後、袋には137個のボールが残っています。

次に2の倍数のボールを取り除きます。1から200までの2の倍数は $200 \div 2 = 100$ 個あります。

最初に7の倍数を取り除いたので、2の倍数であって7の倍数である数はすでに取り除かれています。

7と2の最小公倍数は14なので、14の倍数は、$200 \div 14 = 14.28...$ より14個。

2番目に5の倍数を取り除いたので、2の倍数であって5の倍数である数はすでに取り除かれています。

5と2の最小公倍数は10なので、10の倍数は、$200 \div 10 = 20$ 個。

さらに、2, 5, 7の公倍数である70の倍数は、$200 \div 70 = 2.85...$ より2個です。

したがって、取り除く2の倍数は $100 - 14 - 20 + 2 = 68$ 個です。

この操作の後、袋に残っているボールの数は $137 - 68 = 69$ 個です。

(2) 求める数を $x$ とします。

$x \equiv 2 \pmod{3}$

$x \equiv 1 \pmod{5}$

$x \equiv 6 \pmod{7}$

$x = 3a + 2 = 5b + 1 = 7c + 6$ と書けます。

$x \equiv 1 \pmod{5}$より、$x = 5b + 1$ なので、

$x = 5b + 1 \equiv 6 \pmod{7}$

$5b \equiv 5 \pmod{7}$

$b \equiv 1 \pmod{7}$

よって、$b = 7k + 1$ と書ける。

$x = 5(7k + 1) + 1 = 35k + 6$

$x = 35k + 6 \equiv 2 \pmod{3}$

$35k \equiv -4 \pmod{3}$

$2k \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}$

$k \equiv 1 \pmod{3}$

よって、$k = 3m + 1$ と書ける。

$x = 35(3m + 1) + 6 = 105m + 41$

したがって、$x \equiv 41 \pmod{105}$

最小の数は41です。

3桁で最大の数は、$105m + 41 < 1000$を満たす最大の整数$m$を求めます。

$105m < 959$

$m < 9.133...$

$m = 9$

$x = 105 \times 9 + 41 = 945 + 41 = 986$

(3) $\sqrt{\frac{135n}{28}} = \sqrt{\frac{3^3 \cdot 5 \cdot n}{2^2 \cdot 7}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3 \cdot 5 \cdot n}{7}}$

$\sqrt{\frac{135n}{28}}$が有理数となるためには、$\frac{3 \cdot 5 \cdot n}{7}$が平方数である必要があります。

したがって、$n = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ のとき、

$\sqrt{\frac{135n}{28}} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{3 \cdot 5 \cdot (3 \cdot 5 \cdot 7)}{7}} = \frac{3}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{45}{2}$

3. 最終的な答え

(1) (i) 28個

(ii) 137個

(iii) 69個

(2) 最小の数：41、3桁で最大の数：986

(3) 105