実数 $a, b, c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たすとき、以下の値を求めます。 (1) $ab+bc+ca$ および $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ (2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合、$b-c=x, c-a=y$ とおいたとき、$x+y, x^2+y^2$ および $(a-b)(b-c)(c-a)$

1. 問題の内容

実数 $a, b, c$ が $a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ を満たすとき、以下の値を求めます。

(1) $ab+bc+ca$ および $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

(2) $a-b=2\sqrt{5}$ の場合、$b-c=x, c-a=y$ とおいたとき、$x+y, x^2+y^2$ および $(a-b)(b-c)(c-a)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(a+b+c)^2$ を展開すると、

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

与えられた条件より、$a+b+c=1$ および $a^2+b^2+c^2=13$ であるから、

$1^2 = 13 + 2(ab+bc+ca)$

$1 = 13 + 2(ab+bc+ca)$

$2(ab+bc+ca) = -12$

$ab+bc+ca = -6$

次に、$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$ を展開すると、

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = (a^2-2ab+b^2) + (b^2-2bc+c^2) + (c^2-2ca+a^2)$

$= 2(a^2+b^2+c^2) - 2(ab+bc+ca)$

与えられた条件と先の結果より、

$= 2(13) - 2(-6)$

$= 26 + 12$

$= 38$

(2)

$b-c=x, c-a=y$ とおくと、$x+y=(b-c)+(c-a)=b-a=-(a-b)=-2\sqrt{5}$.

また、$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = (a-b)^2+x^2+y^2 = 38$

$(2\sqrt{5})^2+x^2+y^2 = 38$

$20+x^2+y^2 = 38$

$x^2+y^2 = 18$

$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$

$(-2\sqrt{5})^2 = 18+2xy$

$20 = 18+2xy$

$2xy = 2$

$xy = 1$

$(a-b)(b-c)(c-a) = (2\sqrt{5})(x)(y) = 2\sqrt{5}xy = 2\sqrt{5}(1) = 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $ab+bc+ca = -6$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 38$

(2) $x+y = -2\sqrt{5}$

$x^2+y^2 = 18$

$(a-b)(b-c)(c-a) = 2\sqrt{5}$