2次関数 $y = 2x^2 - 4kx + 2k^2 - 3k - 6$ のグラフと $x$ 軸との位置関係が次のようになるように、定数 $k$ の値または値の範囲を求めます。 [1] $x$ 軸と共有点をもつ [2] $x$ 軸と接する [3] $x$ 軸と共有点をもたない

はい、承知いたしました。問題を解きます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4kx + 2k^2 - 3k - 6$ のグラフと $x$ 軸との位置関係が次のようになるように、定数 $k$ の値または値の範囲を求めます。

[1] $x$ 軸と共有点をもつ

[2] $x$ 軸と接する

[3] $x$ 軸と共有点をもたない

2. 解き方の手順

2次関数のグラフと $x$ 軸との位置関係は、判別式 $D$ の符号によって決まります。

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-4k)^2 - 4(2)(2k^2 - 3k - 6)$

$D = 16k^2 - 8(2k^2 - 3k - 6)$

$D = 16k^2 - 16k^2 + 24k + 48$

$D = 24k + 48$

[1] $x$ 軸と共有点をもつ場合、$D \geq 0$ です。

$24k + 48 \geq 0$

$24k \geq -48$

$k \geq -2$

[2] $x$ 軸と接する場合、$D = 0$ です。

$24k + 48 = 0$

$24k = -48$

$k = -2$

[3] $x$ 軸と共有点をもたない場合、$D < 0$ です。

$24k + 48 < 0$

$24k < -48$

$k < -2$

3. 最終的な答え

[1] $k \geq -2$

[2] $k = -2$

[3] $k < -2$