数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ が $a_1 = 5$, $b_1 = 7$ を満たし、すべての自然数 $n$ に対して $$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \int_{c_n}^{x+c_n} (a_nt + b_n) dt$$ を満たすとする。 (1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。 (2) $c_n = 3^{n-1}$ のとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。 (3) $c_n = n$ のとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ が $a_1 = 5$, $b_1 = 7$ を満たし、すべての自然数 $n$ に対して

$$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \int_{c_n}^{x+c_n} (a_nt + b_n) dt$$

を満たすとする。

(1) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) $c_n = 3^{n-1}$ のとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) $c_n = n$ のとき、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

まず与えられた式を積分します。

$$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \left[\frac{1}{2}a_nt^2 + b_nt\right]_{c_n}^{x+c_n}$$

$$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \frac{1}{2}a_n(x+c_n)^2 + b_n(x+c_n) - \frac{1}{2}a_nc_n^2 - b_nc_n$$

$$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \frac{1}{2}a_n(x^2 + 2xc_n + c_n^2) + b_nx + b_nc_n - \frac{1}{2}a_nc_n^2 - b_nc_n$$

$$x(a_{n+1}x + b_{n+1}) = \frac{1}{2}a_nx^2 + a_nc_nx + b_nx$$

$$a_{n+1}x^2 + b_{n+1}x = \frac{1}{2}a_nx^2 + (a_nc_n + b_n)x$$

両辺の係数を比較すると、以下の漸化式が得られます。

$$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$$

$$b_{n+1} = a_nc_n + b_n$$

(1) $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n$ より、数列$\{a_n\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。$a_1 = 5$ より、

$$a_n = 5 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{5}{2^{n-1}}$$

(2) $c_n = 3^{n-1}$ のとき、$b_{n+1} = a_nc_n + b_n$ に代入すると、

$$b_{n+1} = \frac{5}{2^{n-1}} \cdot 3^{n-1} + b_n$$

$$b_{n+1} = b_n + 5\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$$

したがって、

$$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 5\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1} = 7 + 5\sum_{k=0}^{n-2} \left(\frac{3}{2}\right)^{k}$$

$$b_n = 7 + 5 \cdot \frac{1 - (\frac{3}{2})^{n-1}}{1 - \frac{3}{2}} = 7 + 5 \cdot \frac{1 - (\frac{3}{2})^{n-1}}{-\frac{1}{2}} = 7 - 10\left(1 - \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\right)$$

$$b_n = 7 - 10 + 10 \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} = 10\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} - 3$$

(3) $c_n = n$ のとき、$b_{n+1} = a_nc_n + b_n$ に代入すると、

$$b_{n+1} = \frac{5}{2^{n-1}}n + b_n$$

$$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{5}{2^{k-1}}k = 7 + 5\sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{2^{k-1}} = 7 + 5\sum_{k=0}^{n-2} \frac{k+1}{2^k}$$

ここで、

$$S = \sum_{k=0}^{n-2} \frac{k+1}{2^k} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \cdots + \frac{n-1}{2^{n-2}}$$

$$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n-1}{2^{n-1}}$$

$$S - \frac{1}{2}S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^{n-2}} - \frac{n-1}{2^{n-1}}$$

$$\frac{1}{2}S = \frac{1 - (\frac{1}{2})^{n-1}}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{n-1}{2^{n-1}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) - \frac{n-1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{2}{2^{n-1}} - \frac{n-1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{n+1}{2^{n-1}}$$

$$S = 4 - \frac{n+1}{2^{n-2}}$$

よって、

$$b_n = 7 + 5\left(4 - \frac{n+1}{2^{n-2}}\right) = 7 + 20 - \frac{5(n+1)}{2^{n-2}} = 27 - \frac{5(n+1)}{2^{n-2}}$$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{5}{2^{n-1}}$

(2) $b_n = 10\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} - 3$

(3) $b_n = 27 - \frac{5(n+1)}{2^{n-2}}$