2次関数 $y = x^2 - 2ax + 4a$ の最小値 $m$ を $a$ の式で表し、さらに $m$ の値を最大にする $a$ の値と、$m$ の最大値を求めよ。

はい、承知いたしました。それでは問題42を解いていきます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + 4a$ の最小値 $m$ を $a$ の式で表し、さらに $m$ の値を最大にする $a$ の値と、$m$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数を平方完成して、最小値を求める。

$y = x^2 - 2ax + 4a$

$y = (x - a)^2 - a^2 + 4a$

したがって、最小値 $m$ は、

$m = -a^2 + 4a$

(2) $m$ を $a$ の関数とみて、平方完成して最大値を求める。

$m = -a^2 + 4a$

$m = -(a^2 - 4a)$

$m = -(a^2 - 4a + 4) + 4$

$m = -(a - 2)^2 + 4$

したがって、$m$ が最大になるのは、$a = 2$ のときで、その最大値は $4$ である。

3. 最終的な答え

最小値 $m$ を $a$ の式で表すと、

$m = -a^2 + 4a$

$m$ の値を最大にする $a$ の値は、

$a = 2$

$m$ の最大値は、

$m = 4$