与えられた6つの指数・対数方程式または不等式を解きます。 (1) $\log_2(x-1) + \log_2 x = 1$ (2) $2\log_3 x = \log_3 (x+2)$ (3) $\log_2(x+1) \ge \log_2(2-3x)$ (4) $2\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}}(3-2x)$ (5) $\frac{1}{4^x} = 8^{1-x}$ (6) $(\frac{1}{3})^x \ge 27$

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

与えられた6つの指数・対数方程式または不等式を解きます。

(1) $\log_2(x-1) + \log_2 x = 1$

(2) $2\log_3 x = \log_3 (x+2)$

(3) $\log_2(x+1) \ge \log_2(2-3x)$

(4) $2\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}}(3-2x)$

(5) $\frac{1}{4^x} = 8^{1-x}$

(6) $(\frac{1}{3})^x \ge 27$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2(x-1) + \log_2 x = 1$

真数条件より、$x-1 > 0$ かつ $x > 0$。 よって、$x > 1$。

$\log_2(x(x-1)) = 1$

$x(x-1) = 2^1 = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$

真数条件より、$x > 1$ なので、$x=2$。

(2) $2\log_3 x = \log_3 (x+2)$

真数条件より、$x > 0$ かつ $x+2 > 0$。 よって、$x > 0$。

$\log_3 x^2 = \log_3 (x+2)$

$x^2 = x+2$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

$x = 2, -1$

真数条件より、$x > 0$ なので、$x=2$。

(3) $\log_2(x+1) \ge \log_2(2-3x)$

真数条件より、$x+1 > 0$ かつ $2-3x > 0$。 よって、$-1 < x < \frac{2}{3}$。

$x+1 \ge 2-3x$

$4x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{4}$

真数条件との共通範囲は、$\frac{1}{4} \le x < \frac{2}{3}$。

(4) $2\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}}(3-2x)$

真数条件より、$x > 0$ かつ $3-2x > 0$。 よって、$0 < x < \frac{3}{2}$。

$\log_{\frac{1}{3}} x^2 < \log_{\frac{1}{3}}(3-2x)$

底が1より小さいので、不等号の向きが反転する。

$x^2 > 3-2x$

$x^2 + 2x - 3 > 0$

$(x+3)(x-1) > 0$

$x < -3$ または $x > 1$

真数条件との共通範囲は、$1 < x < \frac{3}{2}$。

(5) $\frac{1}{4^x} = 8^{1-x}$

$(2^{-2})^x = (2^3)^{1-x}$

$2^{-2x} = 2^{3-3x}$

$-2x = 3-3x$

$x = 3$

(6) $(\frac{1}{3})^x \ge 27$

$(3^{-1})^x \ge 3^3$

$3^{-x} \ge 3^3$

$-x \ge 3$

$x \le -3$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $x = 2$

(3) $\frac{1}{4} \le x < \frac{2}{3}$

(4) $1 < x < \frac{3}{2}$

(5) $x = 3$

(6) $x \le -3$