$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$xy$の値を求めなさい。

## 数学の問題の解答

以下に、提示された数学の問題の解答を示します。

### 問題3

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$xy$の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

$xy$の値を計算します。

$xy = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

$= \frac{1}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

$= \frac{1}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{1}{5 - 3}$

$= \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$xy = \frac{1}{2}$

### 問題4

1. 問題の内容

実数$x$について、不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ が成り立つように、定数$a$の値の範囲を定めなさい。

2. 解き方の手順

二次不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つ条件は、この二次方程式 $x^2 + ax + a + 3 = 0$ の判別式 $D$ が $D < 0$ であることです。

判別式 $D$ は、

$D = a^2 - 4(a + 3) = a^2 - 4a - 12$

$D < 0$ となる $a$ の範囲を求めます。

$a^2 - 4a - 12 < 0$

$(a - 6)(a + 2) < 0$

したがって、 $-2 < a < 6$。

3. 最終的な答え

$-2 < a < 6$

### 問題5

1. 問題の内容

$\tan \theta = 4$ のときの $\cos \theta$ の値を求めなさい。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ なので、$\sin \theta = 4 \cos \theta$ です。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ です。

$\sin \theta = 4 \cos \theta$ を代入して、

$(4 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$16 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$17 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{17}} = \pm \frac{1}{\sqrt{17}}$

$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ なので、$\cos \theta > 0$ です。

したがって、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{17}}{17}$

### 問題6

1. 問題の内容

2進数 1101 を 10進数に直しなさい。

2. 解き方の手順

2進数を10進数に変換するには、各桁の値を2の累乗で重み付けして合計します。

$1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$

$= 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1$

$= 8 + 4 + 0 + 1$

$= 13$

3. 最終的な答え

13