(1) 2次関数 $y = 3x^2 + x - 5$ の最小値を求める。 (2) 区別のつかないサイコロ2個を同時に投げるとき、少なくとも1個は偶数が出る確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次関数 $y = 3x^2 + x - 5$ の最小値を求める。

(2) 区別のつかないサイコロ2個を同時に投げるとき、少なくとも1個は偶数が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数の最小値を求める。

まず、$y = 3x^2 + x - 5$ を平方完成する。

$y = 3(x^2 + \frac{1}{3}x) - 5$

$y = 3(x^2 + \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2) - 5$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - 3(\frac{1}{36}) - 5$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} - 5$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} - \frac{60}{12}$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{61}{12}$

最小値は $x = -\frac{1}{6}$ のとき、$y = -\frac{61}{12}$ となる。

(2) 少なくとも1個が偶数である確率を求める。

区別のつかないサイコロ2個を投げた場合、目の出方は以下の21通り。

(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)

(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,3), (3,4), (3,5), (3,6)

(4,4), (4,5), (4,6)

(5,5), (5,6)

(6,6)

少なくとも1個が偶数である場合は、以下の場合である。

(1,2), (1,4), (1,6)

(2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)

(3,4), (3,6)

(4,4), (4,5), (4,6)

(5,6)

(6,6)

これらの場合を数えると、15通りである。

したがって、少なくとも1個が偶数である確率は、$\frac{15}{21} = \frac{5}{7}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-\frac{61}{12}$

(2) 確率: $\frac{5}{7}$