(3) $x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ 、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$xy$ の値を求めよ。 (4) 実数 $x$ について、不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ が成り立つように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。 (5) $\tan \theta = 4$ のときの $\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ とする。 (6) 2進数 1101 を10進数に変換せよ。

わかりました。画像にある問題のうち、(3), (4), (5), (6)を解きます。

1. 問題の内容

(3) $x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ 、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$xy$ の値を求めよ。

(4) 実数 $x$ について、不等式 $x^2 + ax + a + 3 > 0$ が成り立つように、定数 $a$ の値の範囲を定めよ。

(5) $\tan \theta = 4$ のときの $\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ とする。

(6) 2進数 1101 を10進数に変換せよ。

2. 解き方の手順

(3) $x = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ 、 $y = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ のとき、$xy$ を計算します。

$xy = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{1}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{1}{5 - 3} = \frac{1}{2}$

(4) $x^2 + ax + a + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つためには、二次方程式 $x^2 + ax + a + 3 = 0$ の判別式 $D$ が負であればよい。

$D = a^2 - 4(a + 3) = a^2 - 4a - 12 < 0$

$(a - 6)(a + 2) < 0$

したがって、$-2 < a < 6$

(5) $\tan \theta = 4$ のとき、$\cos \theta$ の値を求めます。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 4$

$\sin \theta = 4 \cos \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、 $(4 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$16 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$17 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$ より、$\cos \theta > 0$ なので、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

(6) 2進数 1101 を10進数に変換します。

$1101_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{1}{2}$

(4) $-2 < a < 6$

(5) $\frac{\sqrt{17}}{17}$

(6) 13