与えられた対数方程式 $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 2) = 2$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 2) = 2$ を解いて、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質 $\log_a(M) + \log_a(N) = \log_a(MN)$ を用いて、左辺をまとめます。

$\log_2((x - 1)(x + 2)) = 2$

次に、対数の定義 $\log_a(x) = y \Leftrightarrow x = a^y$ を用いて、対数を指数形式に変換します。

$(x - 1)(x + 2) = 2^2$

$(x - 1)(x + 2) = 4$

次に、左辺を展開し、二次方程式の形にします。

$x^2 + 2x - x - 2 = 4$

$x^2 + x - 2 = 4$

$x^2 + x - 6 = 0$

次に、この二次方程式を因数分解します。

$(x + 3)(x - 2) = 0$

これから、$x$ の候補となる解は $x = -3$ と $x = 2$ です。

最後に、これらの解が元の対数方程式の真数条件を満たすか確認します。

真数条件とは、対数の中身が正の数でなければならないという条件です。

$x - 1 > 0$ より $x > 1$

$x + 2 > 0$ より $x > -2$

これらの条件を満たす必要があります。

$x = -3$ の場合、$x - 1 = -4 < 0$ となり、真数条件を満たしません。したがって、$x = -3$ は解ではありません。

$x = 2$ の場合、$x - 1 = 1 > 0$ かつ $x + 2 = 4 > 0$ となり、真数条件を満たします。したがって、$x = 2$ は解です。

3. 最終的な答え

$x = 2$