実数 $a$ に対して、$A = \sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a+2|$ と定義する。 $A$ を $a$ の範囲によって場合分けして表し、$A = 2a + 13$ となる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$A = \sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a+2|$ と定義する。

$A$ を $a$ の範囲によって場合分けして表し、$A = 2a + 13$ となる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$9a^2 - 6a + 1$ を平方完成する。

$9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2(3a)(1) + 1^2 = (3a-1)^2$

よって、$A = \sqrt{(3a-1)^2} + |a+2| = |3a-1| + |a+2|$

次に、絶対値を外すために、$a$ の範囲によって場合分けする。

(1) $a > \frac{1}{3}$ のとき

$3a - 1 > 0$ かつ $a + 2 > 0$ なので、

$|3a - 1| = 3a - 1$ かつ $|a + 2| = a + 2$

$A = (3a - 1) + (a + 2) = 4a + 1$

よって、ウ=4, エ=1

(2) $-2 \le a \le \frac{1}{3}$ のとき

$3a - 1 \le 0$ かつ $a + 2 \ge 0$ なので、

$|3a - 1| = -(3a - 1) = -3a + 1$ かつ $|a + 2| = a + 2$

$A = (-3a + 1) + (a + 2) = -2a + 3$

よって、オカ=-2, キ=3

(3) $a < -2$ のとき

$3a - 1 < 0$ かつ $a + 2 < 0$ なので、

$|3a - 1| = -(3a - 1) = -3a + 1$ かつ $|a + 2| = -(a + 2) = -a - 2$

$A = (-3a + 1) + (-a - 2) = -4a - 1$

よって、ウ=4, エ=1

最後に、$A = 2a + 13$ となる $a$ の値を求める。

(1) $a > \frac{1}{3}$ のとき

$4a + 1 = 2a + 13$

$2a = 12$

$a = 6$

$a > \frac{1}{3}$ を満たすので、$a = 6$ は解である。

(2) $-2 \le a \le \frac{1}{3}$ のとき

$-2a + 3 = 2a + 13$

$-4a = 10$

$a = -\frac{5}{2} = -2.5$

$-2 \le a \le \frac{1}{3}$ を満たさないので、$a = -\frac{5}{2}$ は解ではない。

(3) $a < -2$ のとき

$-4a - 1 = 2a + 13$

$-6a = 14$

$a = -\frac{7}{3} \approx -2.33$

$a < -2$ を満たすので、$a = -\frac{7}{3}$ は解である。

3. 最終的な答え

ア=3, イ=1, ウ=4, エ=1, オカ=-2, キ=3

ク=-7, ケコ=18

サ=3

$A = 2a+13$ となるaの値は $-\frac{7}{3}$ である。