第4項が6、第6項が24である等比数列の初項と公比を求める。

1. 問題の内容

第4項が6、第6項が24である等比数列の初項と公比を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とする。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項の番号である。

問題文より、

$a_4 = ar^{4-1} = ar^3 = 6$ (1)

$a_6 = ar^{6-1} = ar^5 = 24$ (2)

(2)式を(1)式で割ると

$\frac{ar^5}{ar^3} = \frac{24}{6}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

(i) $r = 2$ のとき

$a(2^3) = 6$ より $8a = 6$ したがって $a = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

(ii) $r = -2$ のとき

$a((-2)^3) = 6$ より $-8a = 6$ したがって $a = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

初項 $a = \frac{3}{4}$、公比 $r = 2$

または

初項 $a = -\frac{3}{4}$、公比 $r = -2$