初項が1、公比が2の等比数列において、初めて1億を超えるのは第何項か求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$を使用します。

1. 問題の内容

初項が1、公比が2の等比数列において、初めて1億を超えるのは第何項か求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$を使用します。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は、$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$で表されます。ここで、$a_n$は第n項、$a_1$は初項、$r$は公比です。この問題では、$a_1 = 1$、$r = 2$なので、

$a_n = 2^{n-1}$となります。

1億は、$10^8$と表されるので、$2^{n-1} > 10^8$となる最小のnを求めればよいです。

両辺の常用対数をとると、

$log_{10}(2^{n-1}) > log_{10}(10^8)$

$(n-1)log_{10}2 > 8$

$n-1 > \frac{8}{log_{10}2}$

$log_{10}2 = 0.3010$を使うので、

$n-1 > \frac{8}{0.3010}$

$n-1 > 26.578$

$n > 27.578$

したがって、nは整数なので、最小のnは28となります。

3. 最終的な答え

第28項