2次関数 $y=x^2-4x+3$ について、集合 $A = \{y \mid 0 \leq x \leq 3\}$, $B = \{y \mid 2 \leq x \leq 5\}$, $C = \{y \mid -1 \leq x \leq \frac{1}{2}\}$ が与えられています。 以下の集合について、$\{y \mid a \leq y \leq b\}$ のように要素 $y$ が満たす条件を示します。 (1) $A$ (2) $A \cap B$ (3) $A \cap B \cap C$ (4) $\overline{A} \cap B$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

2次関数 $y=x^2-4x+3$ について、集合 $A = \{y \mid 0 \leq x \leq 3\}$, $B = \{y \mid 2 \leq x \leq 5\}$, $C = \{y \mid -1 \leq x \leq \frac{1}{2}\}$ が与えられています。

以下の集合について、$\{y \mid a \leq y \leq b\}$ のように要素 $y$ が満たす条件を示します。

(1) $A$

(2) $A \cap B$

(3) $A \cap B \cap C$

(4) $\overline{A} \cap B$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y=x^2-4x+3$ のグラフの概形を把握します。平方完成を行うと、

$y = (x-2)^2 - 1$

となります。頂点は $(2, -1)$ で、下に凸な放物線です。

次に、各集合 $A, B, C$ の $y$ の範囲を求めます。

(1) 集合 A: $0 \leq x \leq 3$

$x=0$ のとき、$y = 0^2 - 4(0) + 3 = 3$

$x=2$ のとき、$y = (2-2)^2 - 1 = -1$ (頂点)

$x=3$ のとき、$y = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$

したがって、$-1 \leq y \leq 3$ となり、$A = \{y \mid -1 \leq y \leq 3\}$

(2) 集合 B: $2 \leq x \leq 5$

$x=2$ のとき、$y = -1$ (頂点)

$x=5$ のとき、$y = 5^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

したがって、$-1 \leq y \leq 8$ となり、$B = \{y \mid -1 \leq y \leq 8\}$

(3) 集合 C: $-1 \leq x \leq \frac{1}{2}$

$x=-1$ のとき、$y = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

$x=\frac{1}{2}$ のとき、$y = (\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{5}{4}$

したがって、$\frac{5}{4} \leq y \leq 8$ となり、$C = \{y \mid \frac{5}{4} \leq y \leq 8\}$

それぞれの集合の定義がわかったので、問題で指示された集合について考えます。

(1) $A = \{y \mid -1 \leq y \leq 3\}$

(2) $A \cap B$: 集合 $A$ と集合 $B$ の共通部分を求めます。

$A = \{y \mid -1 \leq y \leq 3\}$

$B = \{y \mid -1 \leq y \leq 8\}$

よって、$A \cap B = \{y \mid -1 \leq y \leq 3\}$

(3) $A \cap B \cap C$: 集合 $A$, $B$, $C$ の共通部分を求めます。

$A \cap B = \{y \mid -1 \leq y \leq 3\}$

$C = \{y \mid \frac{5}{4} \leq y \leq 8\}$

よって、$A \cap B \cap C = \{y \mid \frac{5}{4} \leq y \leq 3\}$

(4) $\overline{A} \cap B$: 集合 $B$ から集合 $A$ の要素を除いた部分を求めます。

$A = \{y \mid -1 \leq y \leq 3\}$ なので、$\overline{A} = \{y \mid y < -1 \text{ or } y > 3\}$

$B = \{y \mid -1 \leq y \leq 8\}$

よって、$\overline{A} \cap B = \{y \mid 3 < y \leq 8\}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \{y \mid -1 \leq y \leq 3\}$

(2) $A \cap B = \{y \mid -1 \leq y \leq 3\}$

(3) $A \cap B \cap C = \{y \mid \frac{5}{4} \leq y \leq 3\}$

(4) $\overline{A} \cap B = \{y \mid 3 < y \leq 8\}$