与えられた4つの等比数列の和を求める問題です。

以下に、与えられた等比数列の和を計算します。

1. 問題の内容

与えられた4つの等比数列の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式：

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ （ただし、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数）

(1) 初項 $a = 1$, 公比 $r = -2$, 項数 $n = 10$

$S_{10} = \frac{1(1-(-2)^{10})}{1-(-2)} = \frac{1-1024}{3} = \frac{-1023}{3} = -341$

(2) 初項 $a = \frac{1}{2}$, 公比 $r = \frac{1}{2}$, 項数 $n = 10$

$S_{10} = \frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{10})}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{1024})}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

(3) 初項 $a = 1$, 公比 $r = \sqrt{2}$, 項数 $n = 10$

$S_{10} = \frac{1(1-(\sqrt{2})^{10})}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-2^5}{1-\sqrt{2}} = \frac{1-32}{1-\sqrt{2}} = \frac{-31}{1-\sqrt{2}} = \frac{-31(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})} = \frac{-31(1+\sqrt{2})}{1-2} = 31(1+\sqrt{2}) = 31+31\sqrt{2}$

(4) 初項 $a = 2$, 公比 $r = \frac{1}{3}$, 項数 $n$

$S_n = \frac{2(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{2(1-(\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}} = 3(1-(\frac{1}{3})^n) = 3 - 3(\frac{1}{3})^n = 3 - (\frac{1}{3})^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) -341

(2) $\frac{1023}{1024}$

(3) $31+31\sqrt{2}$

(4) $3 - (\frac{1}{3})^{n-1}$