3と7が書かれたカードが何枚かずつある。3が書かれたカードの枚数は7が書かれたカードの枚数より多く、7が書かれたカードの枚数の2倍よりも少ない。また、7が書かれたカードの枚数は、3が書かれたカードの枚数よりも多い。すべてのカードに書かれた数の合計が140であるとき、3と7が書かれたカードの枚数をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

3と7が書かれたカードが何枚かずつある。3が書かれたカードの枚数は7が書かれたカードの枚数より多く、7が書かれたカードの枚数の2倍よりも少ない。また、7が書かれたカードの枚数は、3が書かれたカードの枚数よりも多い。すべてのカードに書かれた数の合計が140であるとき、3と7が書かれたカードの枚数をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

3が書かれたカードの枚数を $x$ 枚、7が書かれたカードの枚数を $y$ 枚とする。

問題文から以下の不等式と等式が得られる。

* $y < x < 2y$

* $3x + 7y = 140$

$3x + 7y = 140$ より $3x = 140 - 7y$。これを $x = \frac{140 - 7y}{3}$ と変形する。

$x$ は整数でなければならないので、$140 - 7y$ は3で割り切れる必要がある。

$140 = 3 \times 46 + 2$ なので、$140 \equiv 2 \pmod{3}$。

よって、 $140 - 7y \equiv 2 - 7y \equiv 0 \pmod{3}$ である必要がある。

$7 \equiv 1 \pmod{3}$ なので、$2 - y \equiv 0 \pmod{3}$。

すなわち、$y \equiv 2 \pmod{3}$。

したがって、$y$ は $2, 5, 8, 11, 14, 17, 20$ などとなりうる。

これらの $y$ の値を $x = \frac{140 - 7y}{3}$ に代入して $x$ の値を求め、条件 $y < x < 2y$ を満たすかを確認する。

* $y = 2$ のとき、$x = \frac{140 - 14}{3} = \frac{126}{3} = 42$。$2 < 42 < 4$ (偽)

* $y = 5$ のとき、$x = \frac{140 - 35}{3} = \frac{105}{3} = 35$。$5 < 35 < 10$ (偽)

* $y = 8$ のとき、$x = \frac{140 - 56}{3} = \frac{84}{3} = 28$。$8 < 28 < 16$ (偽)

* $y = 11$ のとき、$x = \frac{140 - 77}{3} = \frac{63}{3} = 21$。$11 < 21 < 22$ (真)

* $y = 14$ のとき、$x = \frac{140 - 98}{3} = \frac{42}{3} = 14$。$14 < 14 < 28$ (偽)

* $y = 17$ のとき、$x = \frac{140 - 119}{3} = \frac{21}{3} = 7$。$17 < 7 < 34$ (偽)

* $y = 20$ のとき、$x = \frac{140 - 140}{3} = 0$。$20 < 0 < 40$ (偽)

したがって、$x = 21$、$y = 11$ が条件を満たす。

3. 最終的な答え

3が書かれたカードの枚数は21枚、7が書かれたカードの枚数は11枚。