与えられた不定積分 $\int (12x^3 + 6x^2 - x - 4t^2) dx$ を計算せよ。ただし、$t$は $x$ に無関係であるとする。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (12x^3 + 6x^2 - x - 4t^2) dx$ を計算せよ。ただし、$t$は $x$ に無関係であるとする。

2. 解き方の手順

不定積分を求めるために、各項を個別に積分します。

$t$ は $x$ に無関係であるため、定数として扱います。

各項の積分は次のようになります。

- $\int 12x^3 dx = 12 \int x^3 dx = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$

- $\int 6x^2 dx = 6 \int x^2 dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$

- $\int -x dx = - \int x dx = - \frac{x^2}{2}$

- $\int -4t^2 dx = -4t^2 \int 1 dx = -4t^2x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (12x^3 + 6x^2 - x - 4t^2) dx = 3x^4 + 2x^3 - \frac{x^2}{2} - 4t^2x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$3x^4 + 2x^3 - \frac{x^2}{2} - 4t^2x + C$