4cm x 6cmの長方形タイルが正方形の枠内に隙間なく並べて貼られている。タイルの枚数は何枚か？ ア. 縦の枚数は横の枚数の1.5倍である。 イ. 縦、横のいずれかの枚数は12枚である。 アとイの条件のうち、どちらの情報だけでタイルの枚数を特定できるか、または両方の情報が必要かを答える問題です。

1. 問題の内容

4cm x 6cmの長方形タイルが正方形の枠内に隙間なく並べて貼られている。タイルの枚数は何枚か？

ア. 縦の枚数は横の枚数の1.5倍である。

イ. 縦、横のいずれかの枚数は12枚である。

アとイの条件のうち、どちらの情報だけでタイルの枚数を特定できるか、または両方の情報が必要かを答える問題です。

2. 解き方の手順

* **記号の定義**

縦方向のタイル数を $m$、横方向のタイル数を $n$ とします。タイルのサイズは4cm x 6cmです。

正方形の枠の一辺の長さを $L$ とします。

* **正方形の条件**

正方形の枠であることから、縦方向の長さと横方向の長さは等しくなります。

$6m = 4n$

$3m = 2n$

* **条件アについて**

縦の枚数は横の枚数の1.5倍であるから

$m = 1.5n$

これを $3m = 2n$ に代入すると、

$3 * 1.5n = 2n$

$4.5n = 2n$

$2.5n = 0$

$n = 0$

これは不適なので、タイルの向きが縦横逆である必要があります。

$4m = 6n$

$2m = 3n$

条件アより

$m = 1.5n$

$2(1.5n) = 3n$

$3n = 3n$

条件アだけでは、$m$と$n$の関係しかわからず、具体的な値は特定できません。

例えば、$n = 2$ なら $m = 3$、$n = 4$ なら $m = 6$ となります。

タイルの総数 $m * n$ も一意に決まりません。

* **条件イについて**

条件イより、縦または横のタイル数が12枚であることがわかります。

* もし縦のタイル数 $m = 12$の場合、正方形の条件 $6m = 4n$から、$6 * 12 = 4n$ なので $n = 18$。

タイル総数 = $12 * 18 = 216$。

* もし横のタイル数 $n = 12$の場合、正方形の条件 $6m = 4n$から、$6m = 4 * 12$ なので $m = 8$。

タイル総数 = $8 * 12 = 96$。

条件イだけでは、$m$と$n$の組み合わせが複数存在するため、タイルの総数を特定できません。

* **条件アとイの両方について**

条件アとイの両方が与えられた場合、条件アを $2m = 3n$ 、条件イを $m = 12$ または $n = 12$ として考えます。

* もし $m = 12$ なら、$2 * 12 = 3n$ より $n = 8$ となり、タイル総数は $12 * 8 = 96$。

しかし条件アの別の向きである、$n = 1.5m$ を考慮すると、$n = 1.5 * 12 = 18$ となり、正方形の条件を満たさなくなる。

* もし $n = 12$ なら、$2m = 3 * 12$ より $m = 18$ となり、タイル総数は $18 * 12 = 216$。

条件アを $m = 1.5n$とすると、$m = 1.5 * 12 = 18$ となり、条件を満たす。

タイルの向きを逆にすると、

もし $m = 12$ なら、$m = 1.5n$ を $n = 12$ を満たすように考えると、$m = (2/3)n$ なので、$m = (2/3)*12 = 8$となる。正方形の条件からタイル総数は、$12 * 8 = 96$

もし $n = 12$ なら、$n= (2/3)m$ より $m = 18$ なので、$m = 18$となる。正方形の条件からタイル総数は、$12 * 18 = 216$

条件アと条件イから、タイル総数を一意に決定できます。

3. 最終的な答え

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